\(\Large\color{blue}{关于极限可达问题的讨论}\)
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-2-28 05:07 编辑现代《数学分析》不可避免要对无穷大(∞)和极限展开讨论。因为在人类的数学实践中，离开极限方法根本不可能完成对有关无穷计算和论证。如用有限范围内的求和方法计算无穷级数的和，必然遭遇“写不到底、算不到底”的尴尬。然而极限是精确运算还是近似计算，是因为\(0.\dot 9\)本身是1，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}0.\dot 9=1\)，还是\(0.\dot 9\)只是它的极限是1，本身并不等于1.这些都与极限是否可达息息相关.
为说明极限可达，我们先看几个例子，再给出一般问题的讨论.
一、问题的提出
（一）无限循环小数可化为分数：
命题：无限循环小数0.\(\dot a_1\)\(a_2a_3a_4\)……\(\dot a_m\)可化为分数。
1、引理：自然数集N与其真子集\(N^*\)={m+1，m+2，m+3，……，n-1，n……}等势(即N与\(N^*\)的元素一样多)。m∈N且m是定数。
证明：考虑定义在N上取值在\(N^*\)的单调函数y=f(k)=k+m,其中k∈N，y=k+m∈\(N^*\)；因为任给k∈N，唯一存在y=k+m∈\(N^*\)；反之任给y∈\(N是1^*\)，唯一存在k=y-m∈N，所以y=f(k)=k+m是N到\(N^*\)的一一对应。所以，N中的数与\(N^*\)中的数一样多。
2、证明无限循环小数0.\(\dot a_1\)\(a_2a_3a_4\)……\(\dot a_m\)可化为分数。
证明：设x=0.\(\dot a_1\)\(a_2a_3a_4\)……\(\dot a_m\)，则\(10^mx=\begin{cases}a_1a_2…a_m+x，当a_1≠0时\\a_ia_{i+1}a_{i+2}……a_m+x，当a_1=a_2=…=a_{i-1}=0，a_i≠0时\end{cases}\)
所以\(x=\begin{cases}\dfrac{a_1a_2…a_m}{10^m-1}，当a_1≠0时\\\qquad\\\dfrac{a_ia_{i+1}a_{i+2}……a_m}{10^m-1}，当a_1=a_2=…=a_{i-1}=0，a_i≠0时\end{cases}\)
亦即\(x=\begin{cases}\dfrac{a_1a_2…a_m}{\underbrace{999…99}_{m个9}}，当a_1≠0时\\\qquad\\\dfrac{a_ia_{i+1}a_{i+2}……a_m}{\underbrace{999…99}_{m个9}}，当a_1=a_2=…=a_{i-1}=0，a_i≠0时\end{cases}\)
如\(0.\dot 5=\tfrac{5}{9}\)；\(0.\dot 2\dot 3=\tfrac{23}{99}\)：\(0.\dot 0023\dot 5=\tfrac{235}{99999}\)；\(0.\dot 0\)\(0023\)\(\dot 5\)\(=\tfrac{235}{999999}\)
例1、化无限循环小数0.333……为分数。
【解】法1：设x=0.333……，则10x=3.333……,于是得方程：10x=3+x，解这个方程得，x=\(\tfrac{1}{3}\)
法2：因为0.3333……=3\(\times\)\(=3\times[\frac{1}{10^1}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\frac{1}{10^4}+……\)]\(=\displaystyle\lim_{n→∞}\displaystyle\sum_{k=1}^n\tfrac{1}{10^k}=3\times\displaystyle\lim_{n→∞}[\frac{1}{9}-\frac{1}{10^n}]\)\(=\tfrac{1}{3}\)-\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{3}{10^n}=\tfrac{1}{3}-0=\tfrac{1}{3}\)
【评】：方法1是化无限循环小数为分数的一般方法，也是向小学八年级学生讲化循环小数为分数的唯一有效方法。方法2{n→∞}时，\(\tfrac{3}{10^n}=0\)，方法2和方法1处理结果也就一致了。
（二）关于无限循环小数0.999……=1的讨论。
观点1：因为若无限循环小数0.999……<1，则存在纯小数c使不等式0.999……<c<1成立，由c>0.999……，于是根据逐位比较法：纯小数c在小数点的后边至少存在某一数位上的数字大于9，这与9是0到9这10个数字中的最大数矛盾。所以c不存在，故假设不成立。所以无限循环小数0.999……=1.
观点2：设n为0.999……中，9的个数，则当
n=1时，0.9=1-(\(\tfrac{1}{10^1}\)<1
n=2时，0.99=1-(\(\tfrac{1}{10^2}\)<1
……
n=k时，1-\(\tfrac{1}{10^k}\)<1
……
n→∞时，1-\(\tfrac{1}{10^n}\)<1
所以0.999…… 永远都小于1。
因为观点2当n→∞时，\(\tfrac{1}{10^n}=0\)，两种观点也就一致了。
（三）收敛无穷级数的讨论
P.J.Davs和R.Hersh合著的《数学经验》一书4.7节考察了方程\(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{16}+……=1\). 并认为“方程左边似乎是一种不完全的东西，一种无限的努力. 右边则是有限和完全，两边之间的张力就是力量和悖论的源泉.”
正因为\(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{16}+……\)=\(\displaystyle\lim_{n→∞}\displaystyle\sum_{k=1}^n\tfrac{1}{2^k}\)=1-\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{1}{2^n}=1-0=1\) ，方程左边不完全的东西变成了完全的东西，无限努力也就得到实现。从而 悖论也就消除了.
1770年欧拉曾经在《代数的要素》中证明过10＝9.9999，后来也有巴图和谢波特在《实分析引论》中用闭区间套进行过证明，也有人用戴维金分割证明过1与0.99999分割一样，但是如何看待这些证明，与其大小的争论？
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-4-25 15:58 编辑
二、极限存在就一定可达。
1、几个关于无穷大的概念
①、什么是无穷大：
【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持′着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》四卷八册版笫一卷，第一分册P37页；及其《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)
不难看出无穷大是相对于预先给定的任意大数E>0的集合，记为\(\mathbb{N}_∞\)，即\(\mathbb{N}_∞=\{n｜n>N_E，n∈N\}\).
根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，我们不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。事实上当\(n_0>N_E\)时，有\(n_1=n_0+1\)>\(N_E\)，……，\(n_{i+1}=n_i+1\)>\(N_E\)，……所以\(n_j\)∈\(\mathbb{N}_∞\)，j∈N. 所以\(\mathbb{N}_∞\)是无限集。
②、什么叫n→∞？
因为∞是一个集合，所以n和∞的关系只能是n∈\(\mathbb{N}_∞\)和\(n\notin\mathbb{N}_∞\)两种情况。
【定义】：当n∈n∈\(\mathbb{N}_∞\)，称n→∞.
有了这个定义：\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)\(\iff\)\(\displaystyle\lim_{n∈\mathbb{N}_∞}a_n=a\)
命题\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)\(\iff\)\(当n→∞时a_n=a\). 亦等价表示为\(\displaystyle\lim_{n∈\mathbb{N}_∞}a_n=a\)\(\iff\)\(当n∈\mathbb{N}_∞时，a_n=a\)，
③、自然数集\(N=\{n｜n≤N_E，n∈N\}\)\(\bigcup\)\(\{n｜n>N_E，n∈N\}\)（\(N_E\)与预先给定的任意大的数E相关。该命题本帖证明从略)
2、极限存在就一定可达
为讨论极限的可达性，极限表达式可用颜色把它分成三个重要的组成部分：\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\)\(\color{blue}{a_n=a}\)，其中lim是英语单词limit的缩写，词意为：.限制;(地区或地方的)境界，界限，范围;极限;限额;限度;限量;. 限制;限定;限量;减量;
【例句】:He was driving at well over the speed limit.
他当时开车的速度远远超过了限制。
[词组]. lower limit；下限；upper limit；
上限：legal limit；法定限度.【数】；根限值。
(参阅《新英汉词典增补本》上海译文出版社P739页、《牛津高阶英汉双解词典》牛津大学出版社P1174页)。
\(\qquad \color{red}{n→∞}\) 表示变量n趋向于无穷；\(\color{blue}{a_n=a}\)表示在变量n趋向于无穷时所取得的极限值.
于是我们可得极限可达的符号表达式:
\(\qquad\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{blue}{a_n=a}(\color{red}{n→∞})\)\(\qquad\)(*)
现在我们证明(*)式成立：
(1)、【证明】（充分性）
因为\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)，所以对任意给定的、无论怎样小的正数ε，当n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)有\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)有\(a_n=a\).即\(当n→∞时a_n=a\).【充分性证毕】
（2）、【证明】（必要性）反证法假设\(当n→∞时a_n≠a\)，即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)时\(a_n≠a\)，则必有｜\(a_n-a\)｜=α>0，取\(ε=\frac{α}{2}\)，则｜\(a_n-a\)｜=α>\(ε=\frac{α}{2}\)=ε，这与\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)予盾(即没有\(当n→∞时a_n=a\)这个条件，一定没有\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)这个结论，亦即无之则必不然)。所以假设不成立。【必要性证明】
综合(1)、(2)知(*)式成立 本帖最后由 春风晚霞 于 2023-12-28 13:05 编辑
三、关于网友不同意见的友善回复
1、网友问为什么你不把\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{blue}{a_n=a}(\color{red}{n→∞})\)写成\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{blue}{a_n→a}(\color{red}{n→∞})\)？
答：因为\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\)中\(a_n\)是(n→∞)过程的极限值，所以不能写成\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{blue}{a_n=a}(\color{red}{n→∞})\).
2、网友问为什么你不根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》P37页14行“变量趋于a并写成\(a_n→a或x→a. 有时数a为序列(2）的极限，并说，这序列收敛于a”把\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{blue}{a_n=a}(\color{red}{n→∞})\)写成\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{blue}{a_n→a}(\color{red}{n→∞})\)？
答：因为\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\)已知，当\(a_n\)是(n→∞)过程的变量时，若把\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{blue}{a_n→a}(\color{red}{n→∞})\)极限值的唯一性得不到保证。
3、为什么每个能具体写出的x∈\(N^+\)都有\(\tfrac{1}{10^k}>0\)，却偏偏有\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{\tfrac{1}{10^n}=0}\)？
答:因为n的变化过程和\(\tfrac{1}{10^n}\)的变化过程都是持续变化过程。正如黑格尔所说这个过程是一个“进展之自我完成”的过程。所以会有\(\tfrac{1}{10^n}=0\)。′
4,能不能说在连续延拓集合\(\mathbb{N}^+\bigcup\{∞\}\)中存在n使得\(\tfrac{1}{10^n}=0\)？
答:不能这样说！理由如下:①连续延拓集不是现行教科书的概念。为达到某一目的而另行定义系统，即使在新定义的系统中问题得到解决，在现行实数系统中情况依旧。②为维护现行实数理论的严肃性，只能用现行实数理论来解读存在的问题。③论坛中反现行实数理论的系统较多，五花八门确实乱套。④连续延拓集\(\mathbb{N}^+\bigcup\{∞\}\)的定义不自洽。有此五点，故曰不能。
5,利用极限计算出来的值是精确值，还是近似值？
答:极限ε—δ、ε—N中ε的任意性保证了用极限计算出来的值是精确值。70多年前，我问过我老师同样的问题，老师问我:如果你觉得用极限计算出的结果误差有多大？我回答说：这个误差夹在小数点与第一个非0正数之间的0可绕赤道一圈，所以计算的结果应该是近似值。老师说:那我们的ε就取夹在小数点与第一个非0正数之间的0可绕赤道一圈半。你认为的那个误差，不就没有了吗？说完老师赓即在黑板上写了“ε的二重性:①任意性；②确定性。”我借恩师之言，答君所问，满意吗？ 春风晚霞 发表于 2023-12-27 23:36
三、关于网友不同意见的友善回复
(未完，待续)
第一，任何无穷集合的元素个数都是趋向于非正常实数+∞；它们的元素个数不能被看作定数；不能使用康托尔提出的无穷基数，得出有理数集合与自然数集合元素个数相等的结论。自变数的微分是可以忽略不计的正足够小数。
第二，无限循环小数是无穷数列的简写，它是变数而不是定数了；它可以趋向于分数，但不能到达分数，例如无限循环小数0.333……就是如此。 jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣。活该被人类数学抛弃。 本帖最后由 春风晚霞 于 2023-12-28 09:21 编辑
jzkyllcjl 发表于 2023-12-27 23:54
第一，任何无穷集合的元素个数都是趋向于非正常实数+∞；它们的元素个数不能被看作定数；不能使用康托尔 ...
第一，是的，【任何无穷集合的元素个数】都都有无穷多个。说无限集元素数是【非正常实数+∞】，那只是权宜之计。任何讲【非正常实数+∞】的数学书，初次使这个概念时都有附加说明。除你之处谁也没有把【它们的元素个数不能被看作定数】！若两个无限间之存在一个一一映射。这两个集合就等势。如数集R与数集\(R^+\)存在一一映射\(y=e^x\)，因为你找不自R中哪个元素x无像，你找不出\(R^+\)中哪个元素无原像。所以集合R与集合\(R^+\)等势(俗称元素一样多)。类此，可以【使用康托尔提出的无穷基数，得出有理数集合与自然数集合元素个数相等的结论】。注意【自变数的微分是可以忽略不计的正足够小数】的提法不严谨，无穷小数肯定是足够小的数，但足够小的数未必就是无穷小量！
第二，现行实数理说明【无限循环小数是无穷数列的简写，它是变数而不是定数了；它可以趋向于分数，但不能到达分数，例如无限循环小数0.333……就是如此】，只有曹氏数学才有你说的那些情况。 老曹头的观点是极限不可达，
老春头的观点是极限必可达，
老E头竭尽全力的打压老曹头极限不可达的观点
然后，矛头一转，
老E头又竭尽全力的打压老春头极限必可达的观点。 本帖最后由 金瑞生 于 2023-12-28 22:19 编辑
门外汉 发表于 2023-12-28 18:44
老曹头的观点是极限不可达，
老春头的观点是极限必可达，
老E头竭尽全力的打压老曹头极限不可达的观点
关键是何为可达？不同的人有不同的理解！老曹最愚昧的是否认无限循环小数是定数！十足的倒傻货！无限循环小数可看成无穷数列的极限值！它是定数而不是变数！;P 门外汉 发表于 2023-12-28 03:44
老曹头的观点是极限不可达，
老春头的观点是极限必可达，
老E头竭尽全力的打压老曹头极限不可达的观点
1）jzkyllcjl 的错误比较低级：从每个\(a_n\ne a\) 推出 \(\{a_n\}\) 达不到 \(a\),
\(\quad\)进而称极限达不到极限;
2)春风先生的错高级错误:死磕收敛序列必有无穷多 \(n\) 使\(a_n=a\).不惜诡辩；
3)本人反朴归真，坚持\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a\) 是【随\(n\)无限制地增大\(a_n\)无限地趋近于\(a\)】
\(\quad\)的意思，而序列趋于其极限的符合有性限原则的表述即极限的\(\varepsilon-N\)定义．
\(\quad\)序列的极限是一个定数，达不到其自身是具有吃狗屎特色的胡址．但一般收敛
\(\quad\)序列各项可以不等于其极限．
从每个 An≠a,推出这样的整序变量的极限值a具有这个整序变量达不到 性质；,
进而称极限≠达不到极限;但没有说“所有整序变量达不到其极限”。