elim 发表于 2024-1-7 12:25
春风先生抱怨我不看他的春风可达证明. 我的确没看，自认看不懂。
我认为不论 n 逢啥时, 如果 a_n = a 成立 ...
elim先生：
我认为不是您看不懂，确实也是您没有看。如果说某些人看不懂，我相信，如果是您看不懂，我就认为您是懂装不懂了。今天拜托您抛开成见，认真审察，看这篇帖文是不是党八股。
因为我们知道\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)的理论根据是无穷大量的倒数是无穷小量。根据Cauchy的根限趋向说，在n→∞的过程中必依次趋向无穷小量列\(a_1≥\)\(a_
2≥\)\(a_3≥…\)\(≥a_k≥…\). 因为数列\(\{α_k\}\)单调递减。所以，必存在\(ε_0=inf\{α_k\}=0\). 所以，当\(n>N_{ε_0}\)恒有\(\tfrac{1}{n}=0\). 所以我们证得了\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\implies\)\((n→∞)时，\tfrac{1}{n}=0\)(充分性得证)
反之，假若\((n→∞)时，\tfrac{1}{n}≠0\)，设\(\tfrac{1}{n}≠0\)\(\tfrac{1}{n}=α\)，令\(ε=\tfrac{a}{2}\)，则存在\(N_ε=\tfrac{2}{α}\)时，恒有｜\(\tfrac{1}{n}-0｜=α>\tfrac{α}{2}=ε\)，所以，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}≠0\)，故此假设不成立。所以由\((n→∞)时，\tfrac{1}{n}=0\)\(\implies\))\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)(必要性得证).
所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)\(\Longleftrightarrow\)\((n→∞)时，\tfrac{1}{n}=0\).
至于先生的扩充定义域\(\mathbb{N}^+\cup\{∞\}\)是不自洽的！因为\(\mathbb{N}^+\)是无限集，所以\(\mathbb{N}^+\cup\{∞\}=\)\(\mathbb{N}^+\).先生的扩充定义域\(\mathbb{N}^+\cup\{∞\}\)是不自洽的！因为\(\mathbb{N}^+\)是无限集，所以\(\mathbb{N}^+\cup\{∞\}=\)\(\mathbb{N}^+\).
[说明]
①，你的铁粉说【半个月前春氏又坚决拒绝接受这种扩充定义或者连续延拓】，就是在今天春风晚霞仍然坚决拒绝这个不自洽的【扩充定义或者连续延拓】集\(\mathbb{N}^+\cup\{∞\}\).理由见前.对于集合\(\mathbb{N}^+\cup\{∞\}\)你的铁粉说这是哪个婊子写出来的(当时我让他自己在相关主题下去找)。今天，他应该哓得这集合式的由来了吧？
②、用有限范围内解方程方法，不能证明当(n→∞)时，存在n使得\(\tfrac{1}{n}=0\)，这是因为有限和无穷是两种截然不同的状态。这种用有限的思想方法，一成不变地移植到无限，这是范、曹、侯、谢他们的贯用方法，切忌、切忌！
(今天我已把你的公式\(\mathbb{N}^+\cup\{∞\}\)截屏保存，已备你的铁粉再次发难！)
本帖最后由 elim 于 2024-1-7 02:02 编辑
春风晚霞 发表于 2024-1-7 00:58
elim先生：
我认为不是你看不懂，确实也是您没有看。如果说某些人看不懂，我相信，如果是您看 ...
我知道 1/n=0 没有正整数解就是说任河时候都不会有 1/n =0. 所以就知道你的证明我不可能懂、
\(\mathbb{N}^+\)是正整数全体，用数学归纳法可以证明它的元素都是有限数，不是\{\infty\). 本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-8 02:23 编辑
elim 发表于 2024-1-7 16:49
我知道 1/n=0 没有正整数解就是说任河时候都不会有 1/n =0. 所以就知道你的证明我不可能懂、
\(\mathb ...
elim先生，
因为您【知道 1/n=0 没有正整数解就是说任河时候都不会有 1/n =0. 所以就知道你(指春风晚霞)的证明我不可能懂】。请问elim先生，您的这个任河时候包括n→∞的时侯吗？看来您是质疑(n→∞)时，\(\tfrac{1}{n}=0\)了吧？如果舍去(n→∞)这个前提条件，当然您就无法得到\(\tfrac{1}{n}=0\)这个结论了！根据elim先生的解释\(\mathbb{N}^+\)中【的元素都是有限数，不是\(\{\infty\}\)】. 所以elim先生的\(\mathbb{N}^+=\)\(\mathbb{N}-\{∞\}\). 所以\(\mathbb{N}^+\cup\{∞\}=\mathbb{N}\)
elim先生认为【若扩充 \(a_n\) 的定义域到\(\mathbb{N}^+\cup\{∞\}\)，\(a_∞:=a\) 则春风可达就成立了(参见本主题下80楼).因为\(\mathbb{N}^+\cup\{∞\}=\mathbb{N}\)
所以在\(a_n\) 的定义域\(\mathbb{N}\)中，只须\(a_∞:=a\)，那么\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{blue}{a_n=a}(\color{red}{n→∞})\)也就成立了。看来elim先生确实是大智若愚，懂装不懂了。
至于【用数学归纳法可以证明它(\(\mathbb{N}^+\)的元素都是有限数.】其实何需如此麻烦，数学人谁不知道无限集\(\mathbb{N}\)任何一个能被我们具体写出的数都是有限数(即恩格斯悖论)。 本帖最后由 elim 于 2024-1-7 09:09 编辑
春风晚霞 发表于 2024-1-7 06:55
elim先生，
因为您【知道 1/n=0 没有正整数解就是说任河时候都不会有 1/n =0. 所以就知道你(指春 ...
1)如果 n 处于先生所说的”趋于无穷的时候”，那么这个 n还是不是正整数？如果是，那么1/n还是大于0因而不等于0；如果n不是正整数了，\(1/n\) 没有定义，也谈不上是 1/n = 0 的解．正如我说的，先生的证明我看不懂．
2) 趋于不是等于. 所以\(a_n=a (n\to\infty)\)不与\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a\) 符号逻辑地等价．只能硬性规定其等价．所以没有等价性证明的必要，也沒有我看懂的必要．
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-8 06:47 编辑
elim 发表于 2024-1-7 22:17
1)如果 n 处于先生所说的”趋于无穷的时候”，那么这个 n还是不是正整数？如果是，那么1/n还是大于0因 ...
1)、当n→∞的时候，n仍然是是正整数。但这时的正整数n满足\(\tfrac{1}{n}\)一=0.否则:若\(\tfrac{1}{n}\)≠0，便有\(\tfrac{1}{n}\)=α>0。令ε\(=\tfrac{α}{2}\)，恒有\(|\tfrac{1}{n}-0|\)=\(\tfrac{1}{n}\)=α>ε所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}≠0\)，这与\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)矛盾。所以\(\tfrac{1}{n}\)≠0的假不成立。所以当(n→∞)时，\(\tfrac{1}{n}\)=0.
2) 只要先生愿意从逻辑的角度思考，那这个问题也就更加显然了。
因为\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{blue}{a_n=a}\)的数学释义为:当n趋向于无穷时\(a_n\)的极限值是a。由于极限存在并且取值唯一。用符号等价表示即为(n→∞)时，\(a_n=a\).
看来先生确实是对我的充分必要性证明都不屑于看。只是根据不完全归纳的证明方程\(\tfrac{1}{n}=0\)无整数解，就随意给我帖文冠以党八股之雅称！ elim先生您也未免太学阀了吧！ 本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-8 06:57 编辑
我与elim先生的分歧，是从某君用列举法证明0.999……<1的评判开始的。现将该君证明的全程帖后:
设n为9的个数：当
n=1时，0.9=1-\(\tfrac{1}{10^1}<1\)
n=2时，0.99=1-\(\tfrac{1}{10^2}<1\)
n=3时，0.999=1-\(\tfrac{1}{10^3}<1\)
……
n=k时，\(0.\overbrace{99…99}^{k个9}=\)1-\(\tfrac{1}{10^k}<1\)，
……
当n→∞时，\(0.\dot 9\)=1-\(\tfrac{1}{10^∞}<1\).
这个“证明”好像很严瑾，毕竟分式\(\tfrac{1}{10^∞}\)永远不等于0嘛！所以必有\(0.\dot 9<1\).
遗憾的是这个“证明 ”是错误的！
由于n从1到n→∞，0.9到\(0.\dot 9\)的变化过程是持续的渐变过程，这种持续渐变过程必然产生“进展之自我完成”（黑格尔语）效应。所以当(n→∞)时，必存在n使\(\tfrac{1}{10^n}=0\).
也许elim先生及其铁粉将会说方程\(\tfrac{1}{10^n}=0\)无整数解呀，所以你这个n肯定不存在。
由于分式\(\tfrac{1}{10^∞}\)不是合法表达式，所以需要表示成\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{10^n}\)。
那么\(\tfrac{1}{10^∞一}=0\)的问题也就是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{10^n}=0\)。
由于\(0.\dot 9=1\)是现代《数学分析》的开篇基础，且为elim先生及其铁粉所确认。所以在n从1到∞的变化过程中必存在n使\(\tfrac{1}{10^n}=0\)成立，即(n→∞)时，\(\tfrac{1}{10^n}=0\)，如果你们抱守方程\(\tfrac{1}{10^n}=0\)无解的话，您们得到的将是\(0.\dot 9\)永远小于1.为不伤和气，我用生物进化论说服该君认识到他“证明”的错误，也就不再帖出了。 春风晚霞 发表于 2024-1-7 15:11
我与elim先生的分歧，是从某君用列举法证明0.999……
春风先生楼上的这个帖子，颇具妄想成分。好像是青山的手笔。跟我一点关系也没有。
但愿先生心智早日恢复健康。 elim 发表于 2024-1-8 08:15
春风先生楼上的这个帖子，颇具妄想成分。好像是青山的手笔。跟我一点关系也没有。
但愿先生心智早日恢复 ...
跟您有关系的。如果先生及其铁粉始终抱守方程\(\tfrac{1}{10^n}=0\)无解的话，那您们得到的将是\(0.\dot 9\)永远小于1和人家的\(0.\dot 9<1\)是狗屎，自己的\(0.\dot 9<1\)是鲜花的双标效应！ 春风晚霞 发表于 2024-1-7 19:50
跟您有关系的。如果先生及其铁粉始终抱守方程\(\tfrac{1}{10^n}=0\)无解的话，那您们得到的将是\(0.\dot...
\(0.\dot 9\) 永远小于1 这种说法，是把 \(0.\dot 9\) 看作序列 \(0.9,0.99,0.999,\ldots\) 的简写的结果。
春风先生居然也这么看无尽小数？
否则 \(0.\dot 9=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{9}{10^n}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m\frac{9}{10^n} =\lim_{m\to\infty}(1-\frac{1}{10^m})=1\)
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本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-10 22:12 编辑elim 发表于 2024-1-10 12:42
\(0.\dot 9\) 永远小于1 这种说法，是把 \(0.\dot 9\) 看作序列 \(0.9,0.99,0.999,\ldots\) 的简写的结 ...
我们的分歧在于\(0.\dot 9\)本身就等于1(参见本主题下关于\(0.\dot 9=1\)的前四种证明)，所以\(0.\dot 9\)的极限也然等于1. 而您的观点是则是虽然\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}0.\dot 9=1\)但\(0.\dot 9\)一定不等1(见您关于不存在\(n∈N^+\)使得\(\tfrac{1}{10^n}=0\))，这就是您不认同春氏可达\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow 当(n→∞)时， a_n=a\)的思想基础。这也是哪个无人教养的小畜生骂我错了的“理论”根据！从小畜生在《综合论坛风气正变差》主题41楼收集的春氏“错误”的原因看各种表述都是把若数列\(\{a_n\}\)的极限是a的描述记为:\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)\(\color {red}{或}\)n→∞，\(a_n→a\)很明显\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)是威尔斯特拉斯极限的符号表述，后者是柯西极限的符号表述。后者只有在\(a_n\)向a“充分逼近；无限靠拢”的口语提示下，才能保证极限唯一！由于小畜生在不考虑极限唯一的前提下得到的\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow a_n→a(n→∞)\)本身就经不起推敲。请elim先生思考，经小畜生这么一弄，左边哪个等号等价到哪里去了？这就是他骂了我半个月的“正确”依据吗？更为可恶的是在我离开论坛后，小畜生还多次点评【一个仗老欺人不认错，一个倚老卖老拉偏架，结局理应如此，别以为年纪大了就不需要接受教训。发表于 2024-1-10 10:14；犯错误的人自己不反思不认错不改错，这是不希望别人留余地表现。求仁得仁，求锤得锤。发表于 2024-1-10 12:26；倚老卖老、仗老欺人、不反思、不认错、不改错者属于同一类对象。发表于 2024-1-10 13:09】，大有刨尸掘坟挫骨扬灰之恨！他妈个巴子，老子本身就没有错，我还认什么错？改什么错？我用柯西极限趋向说:当n趋向无穷时，\(a_n\)向a充分逼近，无限靠拢的思想，仍然证得【\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow a_n=a(n→∞)\). 对于数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)亦证得存在无限个n∈N使\(\tfrac{1}{n}=0\). 您主仆二人对我的证明不屑于顾。只知道凭感性认知，认为在任给n∈N，都有\(\tfrac{1}{n}>0\). 正因为您们有这种思想，所以您们根本就不能回答门外汉在《这扯淡的极限》主题下对你们的刁难；Nicolas2050的【所以你连高考都是失败者，大学没读找到理由了。】答非所问并且荒唐，范秀山是博士后且是硕土生导师，不也有极限是坨臭狗屎的认知吗？你的甩锅思想【你规定了人走到某些点时 n 的取值，这种规定没有包括人走过的所有点。你的问题不是该问自己吗？你的麻烦本质上就是自己便秘却怪地球引力不够。没说错吧？】也不起作用。因为人家根本就不服你双标解答(即你说不存n∈N，使\(\tfrac{1}{n}=0\)是维护现行的实数理论，而我说不存n∈N，使\(\tfrac{1}{n}=0\)是破坏现行的实数理论).当然靠小畜生的泼妇骂街门外汉更不会买帐。
我给您说这些，并不要求您为我主持公道。我只是想说学术上的争端并不是谁骂人越兇，谁就有理！
好了，就说这些吧，您我之间原本亦师亦友的关系。但愿能相互理解、相互宽容。