jzkyllcjl 发表于 2023-12-28 22:38
从每个 An≠a,推出这样的整序变量的极限值a具有这个整序变量达不到 性质；,
进而称极限≠达不到极限;但没 ...
jzkyllcjl 还是初小差班老生的程度，不会用严格的数学语言说话，还思想混乱。
你的达不到无非是说，对 \(a = \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\) 一般没有 \(a\in \{a_n\mid n\in\mathbb{N}^+\}\). 这是正确的。
但这否定不了以下的推理： \(\displaystyle a_0.a_1a_2\ldots:=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{10^n}, \;\lim_{m\to\infty}\sum_{n=0}^m\frac{a_n}{10^n} = a\)
\(\qquad\qquad\implies a0.a_1a_2a_3\ldots = a\)
本帖最后由 金瑞生 于 2023-12-29 19:44 编辑
jzkyllcjl 发表于 2023-12-29 13:38
从每个 An≠a,推出这样的整序变量的极限值a具有这个整序变量达不到 性质；,
进而称极限≠达不到极限;但没 ...
对于可达与不可达，不同学科不同的人有不同的理解。我认为：在数学上点是没有大小的，可达是一个动态的过程，数学上的“可达”应该用极限定义！如果某数列的极限是A，那么该极限A就是可达的！这才是唯物主义者对待理论数学应该有的态度！
金瑞生 发表于 2023-12-29 09:18
对于可达与不可达，不同的人有不同的理解。我认为：在数学上点是没有大小的，可达是一个动态的过程，数 ...
1被3除，得到的是无穷数列0.3，0.33，……这个数列是无穷数列性质的变数，其趋向性极限才是1/3,但这个变数永远达不到1/3。
本帖最后由 金瑞生 于 2023-12-29 19:50 编辑
jzkyllcjl 发表于 2023-12-29 19:14
1被3除，得到的是无穷数列0.3，0.33，……这个数列是无穷数列性质的变数，其趋向性极限才是1/3,但这个变 ...
倒傻货！1被3除的结果就是无限循环小数0.3333……！而不是数列！除法运算得到的结果唯一，只可能是一个数而不是数列！
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-6 12:54 编辑
elim 发表于 2023-12-29 03:58
1）jzkyllcjl 的错误比较低级：从每个\(a_n\ne a\) 推出 \(\{a_n\}\) 达不到 \(a\),
\(\quad\)进而称 ...
1)、jzkyllcjl 的错误比较低级：从每个\(a_n≠a\)推出\(\{a_n\}\)}达不到，进而称极限达不到极限;
请elim先生公正点评，某君用列举法证明0.999……<1的全程如下:
设n为9的个数：当
n=1时，0.9=1-\(\tfrac{1}{10^1}<0\)
n=2时，0.99=1-\(\tfrac{1}{10^2}<0\)
n=3时，0.999=1-\(\tfrac{1}{10^3}<0\)
……
n=k时，\(0.\overbrace{99…99}^{k个9}=\)1-\(\tfrac{1}{10^k}<1\)，于是\(0.\dot 9=1-\tfrac{1}{10^∞}<1\)，由于分式\(\tfrac{1}{10^∞}\)不是合法表达式，所以需要表示成\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{10^n}\)。所以便有某君的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{10^n}=0\)，但n→∞时，\(\tfrac{1}{10^n}→0\)的认知。请先生点评某君与jzkyllcjl思路上有什么两样？只有曹先生在犯这种低级错误吗？
2)、春风先生的错是高级错误:死磕收敛序列必有无穷多n使\(a_n=a\)不惜诡辩；
请先生具体解读Weierstrass 的ε—N数列极限定义：
【定义:】对于数列\(\{a_n\}\)和常数a，如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ε，总存在自然数\(N_ε\)，当n>\(N_ε\)时，恒有| \(a_n- a\) |＜ε，则称常a为数列\(\{a_n\}\)的极限.记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\).(参见同济大学《高等数学》第七版P20页)中对于每一个预先给定的任意小的正数 ε，总存在自然数\(N_ε\)，当n>\(N_ε\)时，恒有| \(a_n- a\) |＜ε，则称常a为数列\(\{a_n\}\)的极限中①ε的任意性;②\(N_ε\)的存在性;③n>\(N_ε\)的多值性；恒有| \(a_n- a\) |＜ε的唯一性；看看是不是有【收敛序列必有无穷多n使\(a_n=a\)】？是我诡辩，还是您在找茬。
3)、本人反朴归真，坚持\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)是【随n无限制地增大\(a_n\)无限地趋近于a】的意思，而序列趋于其极限，符合有性限原则的表述，即极限的ε—N定义．序列的极限是一个定数，达不到其自身是具有吃狗屎特色的胡址．但一般收敛序列各项可以不等于其极限。
请elim先生诠释你的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)是【随n无限制地增大\(a_n\)无限地趋近于a】请问elim先生，你的无限制增大;无限地趋近于a的数值界定是什么？|\(a_n\)-a|=α，那么\(α=\tfrac{1}{1百亿}\)算不算无限趋近？｜\(a_n\)-a|=α，那么\(α=\tfrac{1}{1千亿}\)呢？\(α=\tfrac{1}{1万亿}\)、\(α=\tfrac{1}{十万亿}\)呢？…只要α>0，这样的趋近不就没完没了吗？再者只要α>0，那么取\(ε=\tfrac{α}{2}\)。立得;\(N_ε=\tfrac{2}{α}\)，于是当n>\(N_ε\)恒有|\(a_n-a\)|>ε。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n≠a\)，这时还有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)吗？
elim先生，我讲Weierstrass 的ε—N数列极限死抠定义，讲Canchy的趋向性极限定义：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限”也死抠定义。数学教师讲数学时死抠数学定义，这可是《数学教学法》对数学教师的基本要求，我一点都不认为我犯了什么高级错误？
春风晚霞 发表于 2023-12-29 20:16
1)、jzkyllcjl 的错误比较低级：从每个\(a_n≠a\)推出\(\{a_n\}\)}达不到，进而称极限达不到极 ...
春风晚霞先生：数学上的点是没有大小的，因此可达不必纠缠于是否等于！极限定义的本质就是可达，所以在数学上用极限定义可达才是正确的！
本帖最后由 elim 于 2023-12-29 08:30 编辑
极限的本质是趋于，可达的本质是序列的项可取到该序列的极限值．
这么清楚的区别看不见？
本帖最后由 elim 于 2023-12-29 09:52 编辑
春风晚霞 发表于 2023-12-29 05:16
1)、jzkyllcjl 的错误比较低级：从每个\(a_n≠a\)推出\(\{a_n\}\)}达不到，进而称极限达不到极 ...
我完全同意 \(\{1-\frac{1}{10^n}\}\)达不到 \(1\)但否定jzkyllcjl 的\(0.\dot 9\) 达不到 \(1\) 的论断.
该论断基于对无尽小数的定义的篡改，把 \(0.\dot 9\)视为序列 \(\{1-\frac{1}{10^n}\}\)的缩写．
人类数学(除数盲学渣败类外的人类共识)认为
\(0.\dot 9=\small\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{9}{10^n}=\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})=1\)
至于春风先生的可达诡辫，我沒有拜读．自认不会看懂的．您给个正整数 n 让 1/n = 0 就说服我了．
本帖最后由 春风晚霞 于 2023-12-29 22:58 编辑
elim 发表于 2023-12-29 16:17
我完全同意 \(\{1-\frac{1}{10^n}\}\)达不到 \(1\)但否定jzkyllcjl 的\(0.\dot 9\) 达不到 \(1\)...
elim先先：
任何一本要讲实数理论的《数学分析》教科书，都把\(0.\dot 9\)=1作为开篇基础。都要介绍有理数的两种无尽循环方式。如23.0000……=22.999……。事实上，戴德金的实数分割理论、康托尔的收敛序列理论、威尔斯特拉斯的实数极限理论都是在1=0.999……的基础上建立起来的。遗憾的是各种版本的《数学分析》都没1=0.999……的证明。很可能是编写教材的教授们，都觉得化循环小数为分数在初中一年级上期（现在是小学八年级)，讲实数分类时都讲了的吧？现在春风晚霞与大家再次分享五个关于\(0.\dot 9\)=1的证明：
①、反证法
【证明】：假设无限循环小数0.999……<1，则存在纯小数c使不等式0.999……<c<1成立，由c>0.999……，于是根据逐位比较法：纯小数c在小数点的后边至少存在某一数位上的数字大于9，这与9是0到9这10个数字中的最大数矛盾。所以c不存在，故假设不成立。所以无限循环小数0.999……=1【证毕】
②、cntor实数定义法
【证明】因为cntor基本序列\(\{a_n\}\)：\(\{0.9，0.99，0.999，0.999……0.\overbrace {999…99}^{k个9}…\}\)；
\(\{b_n\}\)：\(\{1，1，1，1……1…\}\)；
\(\{c_n\}\)：\(\{1.1，1.01，1.001，1.0001……\(1.\overbrace {000…00}^{k个0}1…\}\)
易证cantor基本序列\(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)、\(\{c_n\}\)同类且等价.根据cantor实数定义：\(\{a_n\}\)=\(\{b_n\}\)=\(\{c_n\}\)=1
所以0.9999……=1【证毕】
③、由马克思的级数等式法：
【证明】：因为
\(\tfrac{1}{3}=\)\(\tfrac{3}{10}+\)\(\tfrac{3}{100}+\)\(\tfrac{3}{1000}+\)\(\tfrac{3}{10000}+…\)=0.3+0.03+0.003+0.0003+……=0.3333……(等量代换)。所以
\(3\times\tfrac{1}{3}\)=\(3\times 0.333…\). 所以
0.999…1【证毕】
④、方程法
【证明】:
设x=0.999……，所以，10x=9.999……=9+x
所以9x=9，所以x=1
即;0.999……=1【证毕】
⑤极限法;
【证明】
因\(a_1=0.9\)=\(1-\tfrac{1}{10^1}\);
\(a_2=0.99\)=\(1-\tfrac{1}{10^2}\);
\(a_3=0.999\)=\(1-\tfrac{1}{10^3}\)
……
\(a_k\)=\(1-\tfrac{1}{10^k}\)
……
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}0.\dot 9=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1-\tfrac{1}{10^n})\)=1
所以0.999……=1【证毕】
这五种方法除威尔斯特拉斯的极限法斯要用到\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}0.\dot 9=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1-\tfrac{1}{10^n})=1\)\(\Longleftrightarrow 0.\dot 9=1\)外，其它均与威氏极限极限无关。此外用戴德金分割法证明1=0.999…需要用到上下确界概念，它和康托尔序列法一样都是在柯西极限基础上建立起来的。
先生认为【春风先生的可达诡辫，我沒有拜读．自认不会看懂的．您给个正整数 n 让 1/n = 0 就说服我】，先生真会装疯卖傻，既然没有读过我的帖子，您又如何得知我在诡辩？人世间不懂装懂是最大的傻蛋，像先生这样懂装不懂才是最大的精明。如不这样，先生又何忍放弃自己的执着呢？至于找个【正整数n让\(\tfrac{1}{n}=0\)】的问题，我只能告诉您，能写出来的任何数都是有限数，都不是无穷大。然而这个能让\(\tfrac{1}{n}=0\)的n又是客观存在的。正如我在回青山的帖子中所说，根据生物进化论，如果把人从古猿进化到古人过程写时时间(天)的函数f(n);显然有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=人\)；就是创立生物进化论的达尔文，他能具体说出这个具体的时间n吗？否则人就永远是古猿了！
本帖最后由 elim 于 2023-12-29 16:23 编辑
春风晚霞 发表于 2023-12-29 11:50
elim先先：
任何一本要讲实数理论的《数学分析》教科书，都把\(0.\dot 9\)=1作为开篇基础。都 ...
说不出具体的n的原因是一般没有这样的n．极限定义从来就不保证使\(a_n=a\)的n的存在．
趋于极限和达到极限是不同的概念，不容混淆．