求 a^2+(a+23*49)^2=c^2 的本原勾股数通项公式
设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，
求 ∣y^2 - x^2 - 2*x*y∣ =23*49 的最小2^2组 正整数解，
设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，
设 R1=xi, R2=yi,R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn，得4组Rn数列
第1组 Rn=24, 29, 82, 193, 468, 1129, 2726, 6581, ...
第2组 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ...
第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ...
第4组 Rn=19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ...
设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，
则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2
是 两直角边相差23*49 的本原勾股数。
求 a^2+(a+7*71*89)^2=c^2 的本原勾股数通项公式
设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，
求 ∣y^2 - x^2 - 2*x*y∣ =7*71*89 的最小2^3组 正整数解，
设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，
设 R1=xi, R2=yi,R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn，得8组Rn数列
第1组 Rn=149, 162, 473, 1108, 2689, 6486, 15661, 37808, ...
第2组 Rn=151, 188, 527, 1242, 3011, 7264, 17539, 42342, ...
第3组 Rn= 12, 223, 458, 1139, 2736, 6611, 15958, 38527, ...
第4组 Rn= 48, 269, 586, 1441, 3468, 8377, 20222, 48821, ...
第5组 Rn=173, 298, 769, 1836, 4441, 10718, 25877, 62472, ...
第6组 Rn=114, 379, 872, 2123, 5118, 12359, 29836, 72031, ...
第7组 Rn=199, 386, 971, 2328, 5627, 13582, 32791, 79164, ...
第8组 Rn=136, 421, 978, 2377, 5732, 13841, 33414, 80669, ...
设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，
则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2
是 两直角边相差7*71*89 的本原勾股数。
朱明君 发表于 2020-1-28 13:22
本原勾股数通项公式
设正整数Z=X+Y,且X
朱明君的本原勾股数通项公式 是 错误的！
设正整数Z=X+Y,且X<Y<Z,x,y均为正整数
Z(Y-X)=a, 2XY=b, X^2+Y^2=c
则a^2+b^2=c^2
反例：X=7,Y=14,
得到：a=147, b=196, c=245, 是 派生勾股数，不是本原勾股数。
蔡氏勾股方程竟与费尔马数 联系在一起，也许是 天缘巧合。
16^t+1 的所有素因子p必具有∣(2n -1)^2 - 2*k^2∣的形式。
16^1+1=17
16^2+1=257
16^3+1=17*241
16^4+1=65537
16^5+1=17*61681
16^6+1=97*257*673
16^7+1=17*15790321
16^8+1=641*6700417
16^9+1=17*241*433*38737
16^10+1=257*4278255361
16^11+1=17*353*2931542417
16^12+1=193*65537*22253377
16^13+1=17*858001*308761441
16^14+1=257*5153*54410972897
16^15+1=17*241*61681*4562284561
16^16+1=274177*67280421310721
费尔马1的证明
求证:16^t+1=（2n－1）^2－2k^2
证明:16^t+1=（4^t）^2+1=（4^t+1）^2－2*4^t
∵ 2*4^t=2*（2^t）^2
令 4^t+1=2n－1，2^t=k
则 16^t+1=（2n－1）^2－2*k^2
wlc1 发表于 2020-1-30 23:04
朱明君的只不过是罗士琳公式的变形，
①设[(2x)/2]^2=mn (其中x为≥2的正整数), 且m>n, m,n均为正整数
2x<m-n, 2x为勾=a, m-n为股=b, m+n为弦=c
2x>m-n, 2x为股=b, m-n为勾=a, m+n为弦=c
则a^2 +b^2=c^2
②设（x/2)^2=mn (其中x为≥4的偶数), 且m>n, m,n均为正整数
x<m-n,x为勾=a, m-n为股=b, m+n为弦=c
x>m-n,x为股=b, m-n为勾=a, m+n为弦=c
则a^2 +b^2=c^2
③设x^2=mn (其中x为≥3的奇数), 且m>n, m,n均为正整数
x<(m-n)/2, x为勾=a, (m-n)/2为股=b, (m+n)/2为弦=c
x>/2, x为股=b, (m-n)/2为勾=a, (m+n)/2为弦=c
则a^2 +b^2=c^2
④设正整数Z=X+Y,且X<Y<Z,x,y均为正整数
Z(Y-X)=a, 2XY=b, X^2+Y^2=c
则a^2+b^2=c^2
⑤设x^2+y^2=z^2
yn-[(y-x)n]=a, yn=b, yn+[(z-y)n]=c
且 n≥1 n,x,y,z均为正整数
则a^2+b^2=c^2
⑥设x=mn , (其中x为≥1的正整数)且m≥n m,n均为正整数
则x^2+[(n/2)^2－m^2]^2=[(n/2)^2+m^2]^2
朱火华勾股数组通解公式
这个公式是我研究出来的，解决了古今中外数学家勾股不分，ab不分的问题，
勾股定理的定义是短边为勾，长边为股，斜边为弦，即a<b<c,
设(x/2)^2=mn,其中x为≥4的偶数，
x<m-n,x为勾=a,m-n为股=b,m+n为弦=c,
x>m-n,x为股=b,m-n为勾=a,m+n为弦=c,
则a^2+b^2=c^2
费尔马1的
[(2a - 1)^2 - 2*b^2] * [(2c - 1)^2 - 2*d^2] = (2e - 1)^2 - 2*f^2
上式可简写为
设 (2a - 1)=p，2c - 1=q
则 *
= （pq）^2－2p^2d^2－2b^2q^2+4b^2d^2
=〔（pq）^2+（2bd）^2〕－2〔（pd）^2+（bq）^2〕
根据勾股数原理，设（pq）^2+（2bd）^2=j^2，其中j为奇数，
〔（pd）^2+（bq）^2〕=k^2
有 j^2－2k^2 形似 (2e - 1)^2 - 2*f^2
若 a^2+b^2= c^2，
且 a+b= 7*17，
由 7*17 有 2个不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。
1-----( a=39, b=80, c=89 )
2-----( a=99, b=20, c=101 )