把\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a\)写成\(\lim a_n=a(n\to\infty)\)是相当合理的，但把前面那个\(\lim\)
删去变成\(a_n=a(n\to\infty)\)意思就不一样了, 变成有序列的项等于a. 连 jzkyllcjl
都知道有个比他更扯的来了．
春风先生连\(0.a_1a_2a_3\ldots=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n}\) 也否定. 理由居然是他不需要
这个等式便可以证明\(0.\dot 9 =1\). 其实对不承认无尽小数是数的人来说.
他的证法无效。所以 \(0.a_1a_2a_3\ldots\)是什么的问题是绕不过去的。
从\(\sin(\frac{\pi}{4})\small = 0.7071067811865\ldots\)知道, 无尽小数是 \(0.a_1a_2a_3\ldots\)是用
十进制方式表示的实数\(\alpha\in(0,1]\). 其中\(\{a_n\}\)由\({\small 0< \alpha-0. a_1\ldots a_k\le }\frac{1}{10^k}\)
\(\small( a_k\in\{i\in\mathbb{N}^+,i<10\},\;k=1,2,\ldots)\) 确定. 由此即得\(\small\displaystyle\lim_{m\to\infty}\big|\alpha-\sum_{n=1}^m\frac{a_n}{10^n}\big|=0.\;\therefore\;\;0.a_1a_2a_3\ldots=\alpha=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{10^n}\)
祖暅那会儿没有积分，球体积就不可以用积分定义了？
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-18 05:07 编辑
elim 发表于 2024-1-18 04:29
春风先生连\(0.a_1a_2a_3\ldots=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n}\) 也否定. 理由居然是他 ...
我从未反对无限不循环小数(即无理数)用\(0.a_1a_2a_3…a_k…=\)\(\displaystyle\sum_{k=1}^∞\tfrac{a_k}{10^k} \)表示.只不过创立实数理论的三大巨头(Dedekind、Cantor、Weierstrass)定义无限小数时都是把有理数系作为己知的。根本不需要elim先生自作多情地用无穷级数定义\(0.\dot 9\).
本帖最后由 elim 于 2024-1-17 16:20 编辑
春风晚霞 发表于 2024-1-17 13:34
我从未反对无限不循环小数(即无理数)用\(0.a_1a_2a_3…a_k…=\)\(\displaystyle\sum_{k=1}^∞\t ...
春风先生对已知的 \(0.\dot 9\) 取极限，还非这么搞不可，他作多情。人有多大胆地产巨多粮发挥到序列，
就有了 \(n\)足够大，\(1/n=0\)的幻想。
还有，\(0.9,0.99,\ldots\) 不是实数，这种序列的等价类才是。所以有了实数的定义不等于有无尽小数的定义。
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-18 07:34 编辑
elim 发表于 2024-1-18 07:10
春风先生对已知的 \(0.\dot 9\) 取极限，还非这么搞不可，他作多情。人有多大胆地产巨多粮发挥到序列， ...
您偏要对\(0.\dot 9\)取极限关我屁事，你就是再弄出个(n→∞)\(\tfrac{1}{10^n}→∞\)又与我何干？
春风先生的 \(0\in\{1/n\mid n\in\mathbb{N}^+\}\) 犯了相当低级的错误。
elim 发表于 2024-1-18 07:37
春风先生的 \(0\in\{1/n\mid n\in\mathbb{N}^+\}\) 犯了相当低级的错误。
我给的可是：0∈\(\{\;1/n\;｜\;n∈\mathbb{N}^+，n→∞\}\)或0∈\(\{\;1/n\;｜\;n∈\mathbb{N}\}\)，网上有，关注者可随时查阅。
本帖最后由 痛打落水狗 于 2024-1-18 09:20 编辑
春氏还在发了春一样地骂菲赫金哥尔茨。《微积分学教程》白纸黑字，无穷小数就是无穷级数，无穷小数表示的实数就是对应的无穷级数和。求无穷级数和本身当然就是求极限，\(0.\dot{9}\)就是一个无穷级数，容易证明这个无穷级数和为1，也就是\(0.\dot{9}\)收敛且\(0.\dot{9}=1.\)
两种证明的等价性，详细说来就是第一种证明是通过无穷小数表示法的定义和实数稠密性证明\(0.\dot{9}\)表示的实数只能是"1"；第二种证明是基于\(0.\dot{9}\)是一个无穷级数，证明其收敛于1，从而证明\(0.\dot{9}\)表示的实数就是无穷级数和"1"。而无论是实数稠密性，还是\(0.\dot{9}\)收敛于1，都是实数戴德金分划定义的必然结果。
只有妄图推翻现有数学分析的蚂蚁螳螂，才会非要否认\(0.\dot{9}\)是无穷级数，否认两种证明的等价性。
本帖最后由 痛打落水狗 于 2024-1-18 09:14 编辑
\(0.\dot{9}=1\)的两种等价证明过程，都表明以《微积分学教程》为代表的数学分析论著中，没有“\(\exists n\in\mathbb{N}^+,\frac{1}{10^n}=0\)”“\(0\in\{ \frac{1}{10^n}\mid n\in\mathbb{N}^+,n\to\infty\}\)”等垃圾的容身之所。
elim 发表于 2024-1-18 09:43
比较老旧的传统常把自然数全体\(\mathbb{N}\)与正整数全体视为等同，较新的著作则把\(0\)视为自然数的初始 ...
算了，算了！我与你实在无法交流。只要你不再向我发动进攻，你爱咋整就咋整。当然，你如果肆意欺负我，说理我陪，骂架我也陪！就此别过，但愿后会无期！