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[watermark] 任意正整数N中素数个数的上下界（纯初等数学讨论）
这里讨论素数个数的上下界，完全与素数定理等概念无任何联系，纯粹是在有限数范围内用初等方式进行推理，其中的概念，与以往的概念划清界限，并明确区分有穷与无穷之间的本质区别，避免混淆概念的推理过程，用极易理解和通俗的方式进行推导。
在上文“素数含量表达式”中，有ω=（P-1）(!)/P(!)，P→∞
这个公式相当于连乘积 ω= ∏（1-P），P→∞。(这个结论在无穷范围是正确的)
在讨论利用这个表达式计算N中素数个数的时候，有误差出现，其原因在于：有穷数的计算，与 ω=（P-1）（！）/P（！），P→∞；表达式是有本质区别的，不能直接套用。
那么，有无正确的计算公式或较精确的取值上下界？答案是肯定的。
在讨论中，我曾经给出一个比值：
∏（1-1/P_n）
——————
（N-1）！/N！ （N=n），并按照经典的推理来可以得出该式当N=n→∞时趋向于∞ 。
事实上，这种结论是不成立的。原因这里暂时不予赘述，因为这涉及数学现有基本概念问题。
这个表达式，似乎很简单无误，实际上，由于下标的出现，分子分母各自的具体含义和其他表达式的区别是非常清楚的。在有穷范围内，这个表达式不断趋向素数实际个数π（N），而且是π（N）利用N*ω计算的粗略的下界，既不可能趋向无穷大，也不可能趋向无穷小，最终趋向π（N）。
那么，有无更精确的上下界？
第一个上界：
我已经给出的第一个公式——计算素数数量的必要条件N*ω_P就是一个上界。其中，P≤√N，在艾拉托塞尼筛法中，似乎这样的表示方式就是直接的艾氏筛法，但是事实上，其中由于使用了除法，使得实际的计算并不确切的体现实际的筛除合数的过程。这是因为，已经筛除过的素数逐渐参与了被除的过程，而连续合数的存在，又使N序列中的合数出现没有规则的间隔，使得存在一对k，l；有（N-k）—（N-l）
有P≥l-k≥3个连续合数存在。所以，在N数值增大的过程中，未被筛除的合数逐渐增多，出现筛除值N*ω_N误差加大。只能成为一个粗略的上界。那么，怎样解决这个矛盾？筛除掉多余的合数？
先考虑这个筛法的下界。
实际上观察重复筛除过程，当筛到充分大的P，P≤√N 时，有P个已筛除后的素数参与了筛除过程，加大了分子的数量，相当于漏筛了P（！）之后的m个连续合数，这就是我给出的计算N*ω_P＋m 需要加上充分条件（＋m）的理论根据。
那么，如果调整N*ω_P中P的取值范围，是否可以找到下界？
设P_i为≤N的素数,并且最接近于N,用P_i～N来表示，那么，当N=P^2时,P_i～P^2。由于N*ω_(P_i)将删除 P_i≤N 中所有的合数并且是过分的筛除合数，所以，N*ω_(P_i)≤π（N），是一个π（N）的下界。
设P_1为P的后继素数,P_2为P_1的后继素数,P_i为P_(i-1)的后继素数,则有:
P(!)﹤P_1(!)﹤P_2(!)﹤……﹤P_i-1(!)﹤P_i(!)
或者∏P﹤∏P_1﹤∏P_2﹤……﹤∏P_(i-1)﹤∏P_i；
因此有
ω_P﹥ω_(P_1)﹥ω_(P_2)﹥……﹥ω_(P_i-1)﹥ω_(P_i)
或者∏（1-1/P）﹥∏（1-1/P_1）﹥∏（1-1/P_2）……﹥∏（1-P_(i-1)）﹥∏（1-1/P_i）
而ω_P－ω_(P_1)＝（P-1）（！）/P_1(!)或∏（P-1）/P_1）（P_1是P的后继素数）
ω_(P_1)－ω_(P_2)＝(P_1-1)(!)/P_2(!) 或……
…………
ω_(P_i-1)－ωP_i＝（(P_i-1)-1）(!)/P_i(!)或……
所以：ω_P-ω_(P_i)＝
P_i
= ∑ ∏(P_i-1)/(P_(i+1))
P
=ω_m（设为ω_m）
而 P_i
∑ ∏(P_i-1)/(P_(i+1)=ω_m
P
将随着N的增大, 逐渐趋向于0, 也就是ω_P-ω_(P_i)→0, 本分析说明ω_(P_i)是π（N）的更精确的下界。
同理可证
P_N
∑ ∏(P_(N-2))/(P_N)→0 (N→∞),
P
但是这是较粗略的下限.
结论:N*ω_P和N*ω_(P_i)是π（N）的上下界, N*ω_P≥ π（N）≥ N*ω_(P_i)
（P≤√N；P_i≤且～N）
且N*ω_P-m可以正确修正误差, 误差值m=N*ω_m 或 m≥P 且 (P～√N).
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发表于 2005-3-15 22:38
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