[求助]十年未解完的方称

kanyikan

古人云“抬杠长学问”，然也！

ysr

标准方程：x^2-Ay^2=1

主楼的方法是如下俩方程：
其中c=A
y^2=c* n ^ 2 + 2* n
y^2=c * n ^ 2 + 2(c-1) * n + c-2
这俩方程的y的值于原方程的y的值等价，但有的时候回落掉最小解，要得到相同的最小解n得值可能是小数了，由第二个解推回去第一个解，方法是很难弄的，经验公式有不知道啥道理不知道是啥规律，无法证明不知道对不对，所以，用枚举法的话，直接用原方程找就可以。

ysr

我的公式当A＝N^2-4或A＝N^2+4时，若N为偶数是会漏掉最小解，而得到了第二个解，
由第二个解推回去第一个解的方法是不好弄的，所以，可以用朋友的公式，如下图片是蔡家雄的公式，
我验证了一下是正确的 ，不知道人家怎么推导出来的反正都是有道理的。
其他类型我还无法确定，有待研究和证明啊！

朋友的公式，如下图:

ysr

ysr 发表于 2023-5-15 05:46
我的公式当A＝N^2-4或A＝N^2+4时，若N为偶数是会漏掉最小解，而得到了第二个解，
由第二个解推回去第一个 ...

用这些公式算出来的是最小解，再利用递推公式才能推出全体解。

ysr

方程 x^2-2y^2＝1 的通解公式就是:

x＝[(3+2√2)^n+(3-2√2)^n]/2 ， y＝[(3+2√2)^n-(3-2√2)^n]/2√2 ， n＝1，2，3，…… 。

因为 3+√2 和 3-√2 是方程  λ^2-6λ+1=0 的两根，所以这些通解还满足下列递推关系式：

x(n+1) = 6x(n)-x(n-1) ，y(n+1) = 6y(n)-y(n-1)  ， n＝1，2，3，…… 。

也就是有

n=0 ，x=1 ，y=0  。

n=1 ，x=3 ，y=2 。

n=2  ，x=6×3-1=17 ，y=6×2-0=12  。

n=3  ，x=6×17-3=99 ，y=6×12-2=70  。

n=4  ，x=6×99-17=577 ，y=6×70-12=408  。

n=5  ，x=6×577-99=3363 ，y=6×408-70=2378  。

n=6  ，x=6×3363-577=19601 ，y=6×2378-408=13860  。

n=7  ，x=6×19601-3363=114243 ，y=6×13860-2378=80782  。
…………

这也解释了为什么通解的个位数字为什么会出现有规律的变化，因为

6×3-1=17≡7(mod 10) ，6×2-0=12≡2(mod 10) ，

6×7-3=39≡9(mod 10) ，6×2-2=10≡0(mod 10) ，

6×9-7=47≡7(mod 10) ，6×0-2=-2≡8(mod 10) ，

6×7-9=33≡3(mod 10) ，6×8-0=48≡8(mod 10) ，

6×3-7=11≡1(mod 10) ，6×8-8=40≡0(mod 10) ，

6×1-3=3≡3(mod 10) ，6×0-8=-8≡2(mod 10) ，

6×3-1=17≡7(mod 10) ，6×2-0=12≡2(mod 10) ，

6×7-3=39≡9(mod 10) ，6×2-2=10≡0(mod 10) ，
……

以上就是陆教授对方程 x^2-2y^2＝1 的全部正整数解的精彩解答（转发一下）
点评
ysr
哇！精彩，谢谢教授！给你点个赞！  发表于 2023-5-8 12:47