各位，程氏等的求勾股数公式，从本质上说，与罗士林的相同！

xxxxxxxx

只不过其表现形式各不相同而已！请大家三思！……

朱明君

        求勾股数公式在于取值

一, x=mn,      2x,(其中x=mn)，
二, x^2=mn,    (2x)∧2=mn，
三, (x/2)∧2=mn，

朱明君

蔡家雄 发表于 2019-3-19 04:15
发现程氏公式的，适合研究：a^2+mab+b^2= c^2，

发现庄氏公式的，适合研究：勾股数再生公式，

目前所有的勾股数公式都是这三类型中的1种

朱明君

①设[(2x)/2]^2=mn   (其中x为≥2的正整数), 且m>n, m,n均为正整数
         2x<m-n, 2x为勾=a, m-n为股=b, m+n为弦=c
         2x>m-n, 2x为股=b, m-n为勾=a, m+n为弦=c
    则a^2 +b^2=c^2  
②设（x/2)^2=mn   (其中x为≥4的偶数), 且m>n, m,n均为正整数
       x<m-n,  x为勾=a, m-n为股=b, m+n为弦=c
       x>m-n,  x为股=b, m-n为勾=a, m+n为弦=c
    则a^2 +b^2=c^2
③设x^2=mn   (其中x为≥3的奇数), 且m>n, m,n均为正整数
         x<(m-n)/2,   x为勾=a, (m-n)/2为股=b, (m+n)/2为弦=c
         x>[m-n]/2,   x为股=b, (m-n)/2为勾=a, (m+n)/2为弦=c
    则a^2 +b^2=c^2  
④设正整数Z=X+Y,且X<Y<Z,  x,y均为正整数
      Z(Y-X)=a,      2XY=b,    X^2+Y^2=c
   则a^2+b^2=c^2
⑤设x^2+y^2=z^2
       yn-[(y-x)n]=a,     yn=b,   yn+[(z-y)n]=c
         且 n≥1      n,x,y,z均为正整数
    则a^2+b^2=c^2
⑥设x=mn , (其中x为≥1的正整数)  且m≥n   m,n均为正整数
   则x^2+[(n/2)^2－m^2]^2=[(n/2)^2+m^2]^2

朱明君

爱尔特希问题

x^2+y^2 - z^2 = n，

费尔马1

朱明君 发表于 2019-3-19 19:39
爱尔特希问题

x^2+y^2 - z^2 = n，

朱老师您好，您的这个方程，只要x∧2+y∧2＞z∧2就有解，无穷多解啊！

朱明君

4/n=1/x+1/y+1/z，

朱明君

朱明君 发表于 2019-3-19 11:39
爱尔特希问题

x^2+y^2 - z^2 = n，

设x为≥3的整数,
(x^2-x)/2+1=y,
(x^2-x)/2+2=z,

则n=x-3

朱明君

给定正整数n，要求取正整数x,y,z，使 1/x+1/y+1/z=4/n 有没有快速的方法 ? 我来答

n=2时，三个和为4/2=2，
则X=2，Y=2，Z=1
更多追问追答?
追问
但如果n是大于1的任意整数？
追答
一、当n=1时，1/x,+1/y+1/z最大值是3，不可能为4，所以n=1时无解；
二、当n=2a时（a为正整数），通解为：x=2a, y=2a, z=a；，所以n是任意正偶数，n为奇数时不具有通解性质。验算：1/2a+1/2a+1/a=4/2a，恒成立。
因为1/x, 1/y, 1/z是具有任意两个数对称互换性质，所以x=a, y=2a, z=2a或者x=2a, y=a, z=2a都是一样成立的。
例如：n=26，则x=13, y=26, z=26，验算：1/13+1/26+1/26=4/26
n=42，则x=21, y=42, z=42，验算：1/21+1/42+1/42=4/42
三、当n=3a时（a为正整数），通解为：x=3a, y=2a, z=2a；
验算：1/3a+1/2a+1/2a=1/3a+1/a=4/3a，恒成立。
四、其它情况，很难找到通解，但是不一定无解。