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楼主: 蔡家雄

勾股数新公式

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发表于 2023-1-17 20:44 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2023-1-17 20:24
设 c^2=2*a^2+b^2,当 b 遍历所有正整数时,有特殊通式解。

设 d^3=2*a^3+b^3+c^3,当 a 遍历所有正整数 ...

这类不定方程有难度啊!学生不会解啊。
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发表于 2023-1-18 16:55 | 显示全部楼层
c^2=2*a^2+b^2:

(2n,n,3n);
(12n,n,17n);
(99n,n,70n)
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 楼主| 发表于 2023-1-20 12:50 | 显示全部楼层
求证:8r+3=a1^2+b1^2+c1^2 均可表为三个非零平方数之和,

同理:8t+3=a2^2+b2^2+c2^2 均可表为三个非零平方数之和,

再证:(a1^2+b1^2+c1^2)*(a2^2+b2^2+c2^2)=a3^2+b3^2+c3^2 均可表为三个非零平方数之和。
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发表于 2023-1-21 15:04 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2023-1-20 12:50
求证:8r+3=a1^2+b1^2+c1^2 均可表为三个非零平方数之和,

同理:8t+3=a2^2+b2^2+c2^2 均可表为三个非零 ...

由于每个正整数都可以表示为三个三角形数的和,故
\[r=\frac{a(a+1)}{2}+\frac{b(b+1)}{2}+\frac{c(c+1)}{2}\]
\[8r+3=8(\frac{a(a+1)}{2}+\frac{b(b+1)}{2}+\frac{c(c+1)}{2})+3=(2a+1)^2+(2b+1)^2+(2c+1)^2\]

点评

求证:(8r+3)*(8t+3) = u^2+v^2+w^2,均可表为三个非零平方数之和。  发表于 2023-1-21 21:52
十分巧妙的证明,妙,妙,妙,赞!赞!!赞!!!  发表于 2023-1-21 15:47

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 楼主| 发表于 2023-1-21 22:33 | 显示全部楼层
【展望未来】

   求最小正整数m,使φ(m)=2024,

   φ(m)表示与m互质且小于m的正整数的个数。

   我的解答:满足此条件下最小的m=3243,欢迎批评指正。
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发表于 2023-1-21 23:32 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2023-1-21 22:33
【展望未来】

   求最小正整数m,使φ(m)=2024,

\[\varphi(m)=2024,m_{min}=2645\]
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发表于 2023-1-21 23:34 | 显示全部楼层
  1. from sympy import totient
  2. print([n for n in range(1,10**6+1) if totient(n)==2024])
复制代码


1000000内满足条件的整数:

\[[2645, 3039, 3243, 4052, 4232, 4324, 5290, 6078, 6348, 6486]\]

点评

谢谢指教:φ(2645)=5^0*(5-1)*23^1*(23-1)=2024,正确,欢迎沟通。  发表于 2023-1-22 00:04
谢谢指教:5^0*(5-1)*23^1*(23-1)=2645,正确,欢迎沟通。  发表于 2023-1-21 23:47
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 楼主| 发表于 2023-1-22 10:47 | 显示全部楼层
求证:(8r+3)*(8t+3)=u^2+v^2+w^2,

均可表为三个非零平方数之和。
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 楼主| 发表于 2023-1-22 12:21 | 显示全部楼层
特殊三角数的立方表为三个立方数之和

求证:(2^n*(2^(n+1) -1))^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。
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 楼主| 发表于 2023-1-22 14:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-1-23 10:46 编辑

求证:有无穷多个m,

使得:m^3 既可以表为三个立方数之和,也可以表为四个非零立方数之和。

最小解m^3=20^3=7^3+14^3+17^3=11^3+12^3+13^3+14^3.

有的:m^3 同时还可以表为五个非零立方数之和。

最小解 m^3=a1^3+a2^3+a3^3=b1^3+b2^3+b3^3+b4^3=c1^3+c2^3+c3^3+c4^3+c5^3.


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