勾股数新公式

蔡家雄

设 a^2+b^2 可以被 (ab+3) 整除，求 a, b 各几何？

cz1

王守恩 发表于 2023-12-3 09:59
谢谢 Treenewbee！还得再来一题。
a,b是正整数,  满足 \(\bigg\lceil\frac{n-a/b}{\sqrt[n]{\sin(\pi/5 ...

请计算：

MultiplicativeOrder[10, 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 ]，谢谢！

王守恩

cz1 发表于 2023-12-25 11:44
请计算：

MultiplicativeOrder[10, 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 ]，谢 ...

1. MultiplicativeOrder[10, 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666659]

复制代码

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666658
电脑就是这样出来的, 可惜我看不懂。

蔡家雄

(2) 设 \(f_n=1, 4, 15, 56, 209, 780, ...\)

     则 \(f_n*f_{n+2}+1=f_{n+1}^2\) 及 \(2*f_n*f_{n+1}+1=(f_{n+1} - f_n)^2\)

与王守恩提供的，

b(n)=0, 4, 56, 780, 10864, 151316, 2107560, 29354524, 408855776, 5694626340,
79315912984, 1104728155436, 15386878263120, 214311567528244, ......

b(n)在OEIS是搜索不到的。

蔡家雄

f(n)=1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, 10864, 40545, 151316, 564719, 2107560, 7865521, 29354524, 109552575, 408855776, 1525870529, 5694626340, 21252634831, 79315912984, 296011017105, 1104728155436, 4122901604639, 15386878263120, 57424611447841, 214311567528244, ...

判断素数性质的新猜想（ n 大于 3 ）

若 n=10k+1 和 n=10k+3 是素数，则 f(n) - 1 能被 n 整除，可能逆命题也成立，

若 n=10k+7 和 n=10k+9 是素数，则 f(n) +1 能被 n 整除，可能逆命题也成立。

因为这个数列与判定梅森素数的卢卡斯序列 L(n)=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]，同样都是与根号3有关。

王守恩

蔡家雄 发表于 2023-12-28 13:49
f(n)=1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, 10864, 40545, 151316, 564719, 2107560, 7865521, 29354524, 1095525 ...

有道理。b(n)在OEIS搜索不到。f(n)在OEIS是可以搜索的。

\(b(n)=\lfloor\frac{ (2 + \sqrt{3})^{2 n}}{2 \sqrt{3}}\rfloor\)
b(n)=0, 4, 56, 780, 10864, 151316, 2107560, 29354524, 408855776, 5694626340,
79315912984, 1104728155436, 15386878263120, 214311567528244, ......

\(f(n)=\lfloor\frac{ (2 + \sqrt{3})^{n}}{2 \sqrt{3}}\rfloor\)  我们的通项公式简单些。
f(n)=1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, 10864, 40545, 151316, 564719, 2107560, 7865521, 29354524, 109552575, 408855776, 1525870529, 5694626340, 21252634831, 79315912984, 296011017105, 1104728155436, 4122901604639, 15386878263120, 57424611447841, 214311567528244, ...

蔡家雄

设 \(a_{1}=1, a_{2}=32\), 且 \(a_{n}^2+a_{n+1}^2\) 可以被 \(a_{n}*a_{n+1}+9\) 整除，求它的通解公式，

设 \(b_{1}=1, b_{2}=73\),  且 \(b_{n}^2+b_{n+1}^2\)  可以被 \(b_{n}*b_{n+1}+9\) 整除，求它的通解公式，

Treenewbee

a(n)={1,32,799,19943,497776,12424457,310113649,7740416768,193200305551,4822267222007,120363480244624,3004264738893593,74986254992095201,1871652110063486432,46716316496595065599,1166036260304813153543,29104190191123733772976,726438718517788531170857,18131863772753589545498449,452570155600321950106290368,11296122026235295163111760751,281950480500282057127687728407,7037465890480816133029081449424,175654696781520121268599348507193,4384329953647522215581954631230401,109432594144406535268280266432252832,2731430523656515859491424706175090399,68176330497268489952017337387945007143,1701676831908055732940942009992450088176,42473744467204124833571532912423307197257}

Treenewbee

b(n)={1,73,4744,308287,20033911,1301895928,84603201409,5497906195657,357279299516296,23217656562363583,1508790397254116599,98048158164955215352,6371621490324834881281,414057348712949312067913,26907356044851380449533064,1748564085566626779907581247,113629758205785889313543247991,7384185719290516178600403538168,479858441995677765719712686732929,31183414543999764255602724234102217,2026442086917988998848457362529911176,131687552235125285160894125840210124223,8557664453196225546459269722251128163319,556116501905519535234691637820483120491512,36139014959405573564708497188609151703784961,2348479855859456762170817625621774377625530953,152615051615905283967538437168226725393955726984,9917629875177984001127827598309115376229496723007,644493326834953054789341255452924272729523331268471,41882148614396770577306053776841768612042787035727608}

Treenewbee

\[\left(a(n)=\left\lfloor \left(\frac{59}{2 \sqrt{69}}-\frac{7}{2}\right) \left(\frac{1}{2} \left(3 \sqrt{69}+25\right)\right)^n\right\rfloor \right) \left(b(n)=\left\lfloor \left(\frac{1}{2} \left(3 \sqrt{469}+65\right)\right)^n \left(\frac{87}{\sqrt{469}}-4\right)\right\rfloor \right)\]