数论小猜想

蔡家雄

设 \(8<=k<=99\)，

求最小正整数 \(m\) ，使

真分数 \(k/m=1/a+1/b+1/c\) 都有解，，，

蔡家雄

设正整数 a, b 满足 ab+4 可以整除 a^2+b^2，求 a, b 各几何？

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-12-13 13:39
设正整数 a, b 满足 ab+4 可以整除 a^2+b^2，求 a, b 各几何？

a<b<10000:

{{1,13},{4,16},{3,31},{6,54},{16,60},{8,128},{13,129},{60,224},{10,250},{31,307},{12,432},{54,480},{14,686},{224,836},{16,1024},{129,1277},{18,1458},{20,2000},{128,2040},{22,2662},{307,3039},{836,3120},{24,3456},{480,4266},{26,4394},{28,5488},{250,6240},{30,6750},{32,8192},{34,9826}}

蔡家雄

设正整数 a, b 满足 ab+4 可以整除 a^2+b^2，

好像当a是偶数时，(a^2+b^2)/(ab+4)=完全平方数，如果是真的，可以证明吗？

及 Treenewbee 的计算，

a<b<10000:

{{1,13},{4,16},{3,31},{6,54},{16,60},{8,128},{13,129},{60,224},{10,250},{31,307},{12,432},{54,480},{14,686},{224,836},{16,1024},{129,1277},{18,1458},{20,2000},{128,2040},{22,2662},{307,3039},{836,3120},{24,3456},{480,4266},{26,4394},{28,5488},{250,6240},{30,6750},{32,8192},{34,9826}}

蔡家雄

设正整数 a, b 满足 ab+4 可以整除 a^2+b^2，

好像当 a, b 是偶数时，(a^2+b^2)/(ab+4)=完全平方数，如果是真的，可以证明吗？

及 Treenewbee 的计算，a < b < 10000，

{{1,13},{4,16},{3,31},{6,54},{16,60},{8,128},{13,129},{60,224},{10,250},{31,307},{12,432},{54,480},{14,686},{224,836},{16,1024},{129,1277},{18,1458},{20,2000},{128,2040},{22,2662},{307,3039},{836,3120},{24,3456},{480,4266},{26,4394},{28,5488},{250,6240},{30,6750},{32,8192},{34,9826}}

奇数链之一 {1, 13, 129, 1277, ... }，连续两个数都是答案，可以找到通解公式吗？

奇数链之一 {3, 31, 307, 3039, ... }，连续两个数都是答案，可以找到通解公式吗？

Treenewbee

\[a=2 n;b=2 n^3;c=\frac{a^2+b^2}{a b+4}=n^2\]

蔡家雄

设正整数 a, b 满足 ab+4 可以整除 a^2+b^2，

好像当 a, b 是偶数时，(a^2+b^2)/(ab+4)=完全平方数，如果是真的，可以证明吗？

及 Treenewbee 的计算，a < b < 10000，

{{1,13},{4,16},{3,31},{6,54},{16,60},{8,128},{13,129},{60,224},{10,250},{31,307},{12,432},{54,480},{14,686},{224,836},{16,1024},{129,1277},{18,1458},{20,2000},{128,2040},{22,2662},{307,3039},{836,3120},{24,3456},{480,4266},{26,4394},{28,5488},{250,6240},{30,6750},{32,8192},{34,9826}}

奇数链之一 {1, 13, 129, 1277, ... }，连续两个数都是 a, b 的答案，可以找到通解公式吗？

奇数链之一 {3, 31, 307, 3039, ... }，连续两个数都是 a, b 的答案，可以找到通解公式吗？

Treenewbee

\[b_n=\frac{\left(2 \sqrt{2}-\sqrt{3}\right) \left(5+2 \sqrt{6}\right)^n-\left(2 \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) \left(5-2 \sqrt{6}\right)^n}{2 \sqrt{3}}=\left\lfloor \frac{1}{6} \left(2 \sqrt{6}-3\right) \left(2 \sqrt{6}+5\right)^n\right\rfloor\]

Treenewbee

\[a_n=\frac{1}{6} \left(\left(4 \sqrt{6}-9\right) \left(2 \sqrt{6}+5\right)^n-\left(4 \sqrt{6}+9\right) \left(5-2 \sqrt{6}\right)^n\right)=\left\lfloor \frac{1}{6} \left(4 \sqrt{6}-9\right) \left(2 \sqrt{6}+5\right)^n\right\rfloor\]

cz1

王守恩 发表于 2023-12-8 18:27
谢谢 Treenewbee!  我只能依样画葫芦。谢谢 Treenewbee！

{3, 4, 27/7, 58/15, 85/22, 2608/675, 1312 ...

符号 MultiplicativeOrder[10,

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659]

表示求最小正整数d，使 10^d 除以素数6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659
的余数是1，

则这个最小正整数d=6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666658 .