数论小猜想

朱明君

\(设n为正整数，\)
\((2n^2+2n-1)^2-2=a{,}\ \ \ 4n(n+1)(2n+1)=b{,}\ \ \ \ \ 2n^2+2n+1=c{,}\ \ \)
\(则a^2+\ b^2＝\ c^4{,}\)

\(7^2+24^2=5^4{,}\)
\(119^2+120^2=13^4,\)
\(527^2+336^2=25^4,\)

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-9-3 14:39
请教 Treenewbee 分别计算，其中 n 为正整数，

设 a= 2^(k+1)*(2^k+2n -1)，b= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k) ...

\[n <=Floor[\frac{1 + 2^k\sqrt{2}}{2}]\]

蔡家雄

杨辉三角中的蔡氏猜想

若 C(2*n, n)  ≡ 2 （mod   n^2）, 则 n 一定是素数。


设 n >= 5,
若 C(n^2, n)  ≡ n  (mod   n^5）, 则 n 一定是素数。


杨辉三角中的蔡氏猜想

若 \(C_{2*n}^{n}  ≡ 2\) \((mod\)   \(n^2)\), 则 \(n\) 一定是素数。


设 \(n >= 5\),
若 \(C_{n^2}^{n}  ≡ n\) \((mod\)   \(n^5)\),  则 \(n\) 一定是素数。

蔡家雄

设 k 为正整数，r 为非负整数，

若 20k+3 与 (20k+3)^(4r+1)*2+1 都是素数，则 10 是素数 (20k+3)^(4r+1)*2+1 的原根。

若 20k+9 与 (20k+9)^(4r+1)*2+1 都是素数，则 10 是素数 (20k+9)^(4r+1)*2+1 的原根。

若 20k+11 与 (20k+11)^(4r+1)*2+1 都是素数，则 10 是素数 (20k+11)^(4r+1)*2+1 的原根。


若 30k+7 与 120k+29 都是素数，

则 g=2, 3, 10 是素数 120k+29 的三个原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 g=2, 3, 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的三个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 的四个原根。

王守恩

看看帖子《关于4/n为三个埃及分数之和问题》，这是您的强项。谢谢！

王守恩

王守恩 发表于 2023-11-16 05:35
看看帖子《关于4/n为三个埃及分数之和问题》，这是您的强项。谢谢！

把4/n分成4类, 分别讨论。

第1类: 4/(4n - 0),  4/(4n - 0)=1/(n + 2) + 1/(n(n + 1)) + 1/((n + 1)(n + 2))

第2类: 4/(4n - 1),  4/(4n - 1)=1/(n + 1) + 1/(n(n + 1)) + 1/(n(4n - 1))

第3类: 4/(4n - 2),  4/(4n - 2)=1/n + 1/(2n(2 n - 1)) + 1/(2n(2n - 1))

第4类: 4/(4n - 3),  4/(4n - 3)=1/n + 3/(n(4n - 3))

把3/(n(4n - 3))分2项，蔡家雄！这是您的强项。

蔡家雄

求证：\(\frac{1}{π}≈\frac{113}{355}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) 有正整数解，

蔡家雄

4/118801=1/29716+1/y+1/z

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-11-29 00:45
4/118801=1/29716+1/y+1/z

4/118801=1/x+1/y+1/z：

{{29716,56036358,5205911136804756},{29716,56037916,2014727507243},{29716,56044376,391654583128},{29716,56549276,6178008403},{29716,76745446,207664148}}

蔡家雄

4/118801=1/x+1/y+1/z

Treenewbee 的计算，但我不懂追梦的第二种分拆方法，甚至第三种分拆方法，

{29716, 56036358, 5205911136804756},

{29716, 56037916, 2014727507243},

{29716, 56044376, 391654583128},

{29716, 56549276, 6178008403},

{29716, 76745446, 207664148},