数论小猜想

蔡家雄

设 p 和 4p+1 都是素数，

当 1 <= n < p 时，

设 p^n   mod   (4p+1) = r

则 p是使 r^p   mod   (4p+1) = 1 成立的最小指数。

s = 0;
For[a = p; p = 7; n = 1, n <= MultiplicativeOrder[a, 4 p + 1], n++,
s = s + 1;
Print[s, "-----", a, "---", n, "-----", 4 p + 1, "----", PowerMod[a, n, 4 p + 1]]]


设 4k+1 和 8k+3 都是素数，

当 1 <= n < 4k+1 时，

设 (4k+1)^n   mod   (8k+3) = r

则 4k+1是使 r^(4k+1)   mod   (8k+3) = 1 成立的最小指数。

蔡家雄

蔡家雄猜想（公式化的原根）

设 k 为非负整数，
若 30k+7 和 120k+29 同为素数，
则 10k+2 是 120k+29 的一个原根。

蔡家雄

(2^1)^3+b^3+c^3= (c+3)^3
(2^3)^3+b^3+c^3= (c+3)^3
(2^5)^3+5389^3+131867^3= (131867+3)^3
(2^7)^3+5605^3+139875^3= (139875+3)^3
(2^9)^3+199^3+3972^3= (3972+3)^3

蔡家雄

3^9+786^3+7344^3= (7344+3)^3
4^9+1889^3+27366^3= (27366+3)^3

6^9+1857^3+26694^3= (26694+3)^3
6^9+47091^3+3406320^3= (3406320+3)^3
7^9+398^3+3388^3= (3388+3)^3
7^9+1286^3+15516^3= (15516+3)^3
8^9+199^3+3972^3= (3972+3)^3
9^9+1380^3+18303^3= (18303+3)^3
9^9+1542^3+21222^3= (21222+3)^3
9^9+8292^3+251775^3= (251775+3)^3
10^9+317^3+10706^3= (10706+3)^3
11^9+202^3+16213^3= (16213+3)^3
12^9+24663^3+1291284^3= (1291284+3)^3


15^9+58098^3+4668345^3= (4668345+3)^3

蔡家雄

2^36+4661^3+137427^3= (137427+3)^3

2^36+5231^3+153425^3= (153425+3)^3

2^36+8003^3+254141^3= (254141+3)^3

2^36+8387^3+270528^3= (270528+3)^3

蔡家雄

蔡家雄猜想：n 为任一正整数，

n^3+b^3+c^3= (c+3)^3 有正整数解。

1^3+236^3+1207^3= (1207+3)^3
2^3+b^3+c^3= (c+3)^3 有正整数解，
3^3+18^3+24^3= (24+3)^3
4^3+17^3+22^3= (22+3)^3
5^3+7144^3+201274^3= (201274+3)^3
6^3+51^3+120^3= (120+3)^3
7^3+11066^3+388028^3= (388028+3)^3

计算机数学难题：

2^3+b^3+c^3= (c+3)^3 的正整数解？

数字 8 代表：从人体到宇宙是由八卦生成的。

在亚当斯的书中，一台超级计算机花了750万年的时间才最终得出答案，
在此之前不会有人知道，或许只有一个人除外，那就是丢番图自己。

蔡家雄

蔡家雄猜想（公式化的广义原根）

设 d, k 为非负整数，
设 g1= 2^(2d+1)， g2= 3^(2d+1)， g3= 5*3^(2d)，
设 g4= 6*g1或6*g2或6*g3，g5= 10*g1或10*g2或10*g3，

设 P >= 5，
设 P 和 4P+1 都是素数，

若 4P+1  mod  40 ≡ 13或37，

且 g^4  mod  (4P+1) ≠  1  ，

则 g1, g2, g3, g4, g5 是 4P+1 的广义原根。

s = 0;
For[g = 3; p = 5, p <= 1000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[4 p + 1]) && (Mod[4 p + 1, 40] == 13 || Mod[4 p + 1, 40] == 37)
&& (PowerMod[g, 4, 4 p + 1] ≠ 1), s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "-----", 4 p + 1, "-----", MultiplicativeOrder[g, 4 p + 1] == 4 p]]]

蔡家雄

蔡家雄猜想（公式化的广义原根）

设 d, k 为非负整数，
设 g1=2^(2d+1)=2, 8, 32, 128, 512, ...
设 g2=3^(2d+1)=3, 27, 243, 2187, .....
设 g3=5*g1=10, 40, 160,, 640, 2560, ...
设 g4=5*g2=15, 135, 1215, 10935, ......

若 30k+7 和 120k+29 同为素数，

且 g^4  mod  (120k+29) ≠ 1  ，

则 g1, g2, g3, g4 都是 120k+29 的广义原根。

s = 0;
For[g = 10; k = 0, k <= 1000, k++,
If[PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29] && (PowerMod[g, 4, 120 k + 29] ≠ 1), s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "-----", 120 k + 29, "-----", MultiplicativeOrder[g, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]

蔡家雄

n^3+b^3+c^3= (c+3k)^3 隐藏的特殊解公式

n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3 = (3n^3+3n^2+2n+1)^3

n^3+[n(9*k^3 -1)]^3+[n(9*k^4 -3k)]^3 = [n(9*k^4)]^3

(n^2)^3+(2n^2 -3n+3)^3+(n^3 -2n^2+3n -3)^3=(n^3 -2n^2+3n)^3

(n^2)^3+(2n^2+3n+3)^3+(n^3+2n^2+3n)^3=(n^3+2n^2+3n+3)^3

(3n^2)^3+(6n^2 -3n+1)^3+(9n^3 -6n^2+3n -1)^3=(9n^3 -6n^2+3n)^3

(3n^2)^3+(6n^2+3n+1)^3+(9n^3+6n^2+3n)^3=(9n^3+6n^2+3n+1)^3

(3n^2)^3+(27n^4+6n^2+1)^3+(81n^6+27n^4+6n^2)^3=(81n^6+27n^4+6n^2+1)^3

蔡家雄

蔡家雄猜想（公式化的广义原根）

设 d, k 为非负整数，
设 g1= 3^(2d+1)，g2= 5^(2d+1)，
设 g3= 3*2^d，     g4= 5*2^d，

设 n>=3,  P>= 5，
设 P 和 (2^n)*P+1 都是素数，

若 (2^n)*P+1  mod  40 ≡ 17或33，

且 g^(2^n)  mod  ((2^n)*P+1) ≠  1  ，

则 g1, g2, g3, g4  是 (2^n)*P+1 的广义原根。

s = 0;
For[n = 3; g = 10; p = 5, p <= 1000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[(2^n) p + 1]) && (Mod[(2^n) p + 1, 40] == 17 || Mod[(2^n) p + 1, 40] == 33)
&& (PowerMod[g, (2^n), (2^n) p + 1] ≠ 1), s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "-----", (2^n) p + 1, "-----", MultiplicativeOrder[g, (2^n) p + 1] == (2^n) p]]]