数论小猜想

太阳

判断:\(2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\)是否为质数？
如果:\(\frac{2^{\left( 2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\right)}-1}{2^{170141183460469231731687303715884105727}-1}-\frac{1}{2^{170141183460469231731687303715884105727}-1}\ne a\)，整数\(a＞0\)
判断:\(2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\)是合数

蔡家雄

由 347287 是素数，

且 347287^25*2^32+1 是素数，

则 10 是素数 347287^25*2^32+1 的原根。

这个素数的（原根）测试，

10^(347287^25*2^32/347287) 模素数 347287^25*2^32+1 的余数 不等于1，

10^(347287^25*2^32/2) 模素数 347287^25*2^32+1 的余数 不等于1，

则 10 是素数 347287^25*2^32+1 的原根。

蔡家雄

蔡氏偶数分拆

设 2n >=64，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数，

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数分拆

设 2n >=280，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数，

则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。


哥猜之蔡氏四素数解

设 2n+15 >=49，且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数解是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


哥猜之蔡氏四素数解

设 2n+105 >=169，且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数解是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。

蔡家雄

蔡氏奇数分拆

设 2n+15 >=33,

则 2n+15=p1+2*p2 , 2n+45=p3+2*p2 , 2n+75=p4+2*p2 均有素数解。

注：p2 可以等于2，2也是素数。

蔡氏奇数分拆

设 2n+15 >=33,

则 2n+15=p1+2*p2 , 2n+75=p3+2*p2 , 2n+135=p4+2*p2 均有素数解。

蔡家雄

每一个大于等于5的素数，都能直接产生一个：伪素数

若 素数 p>=5 , 则 (4^p - 1)/3 一定是 费尔马 伪素数 .

时空伴随者

蔡家雄 发表于 2023-7-28 08:10
每一个大于等于5的素数，都能直接产生一个：伪素数

若 素数 p>=5 , 则 (4^p - 1)/3 一定是 费尔马 伪素 ...

2023-08-12 10:19:15
(4^5-1)/3 [11, 31]
(4^7-1)/3 [43, 127]
(4^11-1)/3 [23, 89, 683]
(4^13-1)/3 [2731, 8191]
(4^17-1)/3 [43691, 131071]
(4^19-1)/3 [174763, 524287]
(4^23-1)/3 [47, 178481, 2796203]
(4^29-1)/3 [59, 233, 1103, 2089, 3033169]
(4^31-1)/3 [715827883, 2147483647]
(4^37-1)/3 [223, 1777, 25781083, 616318177]
(4^41-1)/3 [83, 13367, 164511353, 8831418697]
(4^43-1)/3 [431, 9719, 2099863, 2932031007403]
(4^47-1)/3 [283, 2351, 4513, 13264529, 165768537521]
(4^53-1)/3 [107, 6361, 69431, 20394401, 28059810762433]
(4^59-1)/3 [2833, 37171, 179951, 1824726041, 3203431780337]
(4^61-1)/3 [768614336404564651, 2305843009213693951]
(4^67-1)/3 [7327657, 193707721, 761838257287, 6713103182899]
(4^71-1)/3 [228479, 48544121, 56409643, 212885833, 13952598148481]
(4^73-1)/3 [439, 1753, 2298041, 9361973132609, 1795918038741070627]
(4^79-1)/3 [2687, 202029703, 1113491139767, 201487636602438195784363]
(4^83-1)/3 [167, 499, 1163, 2657, 155377, 13455809771, 57912614113275649087721]
(4^89-1)/3 [179, 62020897, 18584774046020617, 618970019642690137449562111]
(4^97-1)/3 [971, 1553, 11447, 31817, 1100876018364883721, 13842607235828485645766393]
(4^101-1)/3 [7432339208719, 341117531003194129, 845100400152152934331135470251]
(4^103-1)/3 [2550183799, 415141630193, 8142767081771726171, 3976656429941438590393]
用时 199.46244 秒

蔡家雄

佩尔恒等式 \((a+1)^2-a(a+2)=1\),

设 \(a=n^2\), 则有 \((n^2+1)^2-n^2(n^2+2)=1\).

设 \(a=n^3\), 则有 \((n^3+1)^2-n^3(n^3+2)=1\).


设 \(n\) 为正整数，

设 \(x^2-n(n+1)y^2=1\),

则 \(x=2n+1\) ,  \(y=2\) .


设 \(n\) 为大于等于2正整数，

设 \(x^2-(n^2-1)y^2=1\),

则 \(x=n\) ,  \(y=1\) .


设 \(n\) 为正整数，

设 \(x^2-(n^2+1)y^2=1\),

则 \(x=2n^2+1\) ,  \(y=2n\) .

朱明君

\(设n，a为任意正整数，则\left( n^a+1\right)^2-n^a\left( n^a+2\right)=1{,}\)

朱明君

\(3=\sqrt{1+\left( n_1+1\right)\sqrt{1+\left( n_2+1\right)...\sqrt{1+\left( n_n+1\right)\left( n_n+3\right)}}}\)
\(其中n_1=1，n_2=2，n_3=3，...n_n=n。\)

朱明君

\(连续平方和趣题：\)
\(求出n+1个连续平方数之和等于n个连续平方数之和的通解公式。\)
\(3^2+4^2=5^2\)
\(10^2+11^2+12^2=13^2+14^2\)
\(21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2\)
\(36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2\)
\(\cdots\cdots。\)
\(左边n+1个连续平方数之和=右边n个连续平方数之和，其通解公式如下：\)
\(左右共有2n+1个连续正整数，第1个正整数是n(2n+1), \)
\(最后1个正整数是n(2n+3),中间数是n(2n+1)+n。\)

\(设n为大于等于1的正整数，x为连续正整数中的第n个正整数，且x小于等于(2n+1)，\)
\(则a(x)=n(2n+1)+\left( x-1\right){,}\)