数论小猜想

蔡家雄

【判断正误】

由 2023=7*17*17，

由 1/7 的循环节长是6，1/17 的循环节长是16，

故 1/2023 的循环节长是6*16*16。

蔡家雄

【计算错对】

2023^3=a^3+b^3+c^3 有正整数解。

蔡家雄

【新年遐想】

求最小正整数m，使它满足 1/m 的循环节长 d=2023.

蔡家雄

【展望未来】

求最小正整数m，使 φ(m)=2024.

φ(m)表示与m互质的正整数的个数。

蔡家雄

【未解决】设 d^4=2*a^4+b^4+c^4，

当 a 遍历所有：或正整数，或平方数，或立方数，或其它类型的数时，有特殊通式解吗？

设 d^4=2*a^4+b^4+c^4，

当 c 遍历所有：或正整数，或平方数，或立方数，或其它类型的数时，有特殊通式解吗？

蔡家雄

【未解决】求证：(8r+3)*(8t+3)=u^2+v^2+w^2，均可表为三个非零平方数之和。

蔡家雄

【完美立方数】

若 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

且 D^3=A^3+B^3+C^3，

求 D= ？A= ?  B= ?  C= ?

注 D^3=496^3=57^3+82^3+495^3 就是完美立方数。

且 57^3=a1^3+a2^3+a3^3，82^3=b1^3+b2^3+b3^3，495^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解。

蔡家雄

特殊三角数的立方表为三个立方数之和

求证：若 n>=2，则 (2^n*(2^(n+1) -1))^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

举例：PowersRepresentations[8128^3, 3, 3]

s = 0;
For[n = 2, n <= 8, n++, s = s + 1;
  Print[s, "-----", 2^n*(2^(n+1) -1) , "-----",
   PowersRepresentations[(2^n*(2^(n+1) -1))^3, 3, 3]]]]

蔡家雄

求证：若 m>=2，则 (m(2m -1)(2m+1))^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

s = 0;
For[m = 2, m <= 8, m++, s = s + 1;
  Print[s, "-----", m(2m -1)(2m+1) , "-----",
   PowersRepresentations[ (m(2m -1)(2m+1))^3 , 3 , 3]]]]

蔡家雄

【质数立方可以是完美立方数吗】

设 P^3=A^3+B^3+C^3，其中 P 是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

求 质数 P= ？ A= ?   B= ?   C= ?