数论小猜想

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-15 21:53
求：
X^12+Y^8+Z^20=W^4
一组有正整数解

可以先求
X^4+Y^4+Z^4=W^3
的一组解

蔡家雄

【同次素数幂和方程猜想】

若 n 为(4t-1)型素数，

则 一个n次幂表为(4t-1)个n次幂之和均有正整数解。

则 一个3次幂表为3个3次幂之和均有正整数解，
则 一个7次幂表为7个7次幂之和均有正整数解，
则 一个11次幂表为11个11次幂之和均有正整数解，
则 一个19次幂表为19个19次幂之和均有正整数解，


若 n 为(4t+1)型素数，

则 一个n次幂表为(4t)个n次幂之和均有正整数解。

则 一个5次幂表为4个5次幂之和均有正整数解，
则 一个13次幂表为12个13次幂之和均有正整数解，
则 一个17次幂表为16个17次幂之和均有正整数解，

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-16 01:37
可以先求
X^4+Y^4+Z^4=W^3
的一组解

我想了一个上午，感觉这个方程，没有解。
4的倍数加1，不可能是2的倍数。凑不上需要的指数。
大家可以也分析分析。

lusishun

直接先求：
X^4+y^4+Z^4=W^4
的一组解，试一试吧。

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-16 06:55
直接先求：
X^4+y^4+Z^4=W^4
的一组解，试一试吧。

也求不出来啊？现存的那一组是如何求出来的呢？探索一下吧

yangchuanju

lusishun 发表于 2023-1-16 14:55
直接先求：
X^4+y^4+Z^4=W^4
的一组解，试一试吧。

A003828
Numbers n such that n^4 is a primitive sum of 3 positive fourth powers.
数字 n 使得 n^4 是 3 个正四次方的原始和。n^4=a^4+b^4+c^4
422481, 2813001, 8707481, 12197457, 16003017, 16430513, 20615673, 44310257, 68711097, 117112081, 145087793, 156646737, 589845921, 638523249, 873822121, 1259768473, 1679142729, 1787882337, 1871713857

The smallest solutions to a^4 + b^4 + c^4 = n^4 are (a,b,c,n) =
95800 217519 414560 422481 (Roger Frye)
673865 1390400 2767624 2813001 (Allan MacLeod)
1705575 5507880 8332208 8707481 (D. J. Bernstein)
5870000 8282543 11289040 12197457 (D. J. Bernstein)
4479031 12552200 14173720 16003017 (D. J. Bernstein)
3642840 7028600 16281009 16430513 (D. J. Bernstein)
2682440 15365639 18796760 20615673 (Noam Elkies)
2164632 31669120 41084175 44310257 (Robert Gerbicz)
10409096 42878560 65932985 68711097 (Robert Gerbicz)
34918520 87865617 106161120 117112081 (Robert Gerbicz)
1841160 121952168 122055375 145087793 (Juergen Rathmann)
27450160 108644015 146627384 156646737 (Juergen Rathmann)
186668000 260052385 582665296 589845921 (Seiji Tomita)
219076465 275156240 630662624 638523249 (Allan MacLeod)
558424440 606710871 769321280 873822121 (Robert Gerbicz, Leonid Durman, Yuri Radaev, Alexey Zubkov)
588903336 859396455 1166705840 1259768473 (Robert Gerbicz, Leonid Durman, Yuri Radaev, Alexey Zubkov)
50237800 632671960 1670617271 1679142729 (Seiji Tomita)
686398000 1237796960 1662997663 1787882337 (Robert Gerbicz, Leonid Durman, Yuri Radaev, Alexey Zubkov)
92622401 1553556440 1593513080 1871713857 (Robert Gerbicz, Leonid Durman, Yuri Radaev, Alexey Zubkov)

蔡家雄

任一正整数均可表为 一个质数 与 一个 平方数 的差。

64=73-3^2=89-5^2=113-7^2=233-13^2=353-17^2=......


任一质数均可表为 另一个质数 与 一个m次方数 的差。

2=11-3^2=29-3^3=83-3^4=59051-9^5=3518743763-39^6=4782971-9^7=6563-3^8

  =2357947693-11^9=59051-3^10=8649755859377-15^11=282429536483-9^12

yangchuanju

蔡家雄 发表于 2023-1-15 20:28
网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b；
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
---- ...

432、433楼数据表的左上至右下之斜线
1,5,6,353,72，？，568,1409
1^1 = 1^1.
5^2 = 3^2 + 4^2.
6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3.
353^4 = 30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4.
72^5 = 19^5 + 43^5 + 46^5 + 47^5 + 67^5.
a(6) 为 0（无解）或大于 730000
568^7 = 127^7 + 258^7 + 266^7 + 413^7 + 430^7 + 439^7 + 525^7.
1409^8 = 90^8 + 223^8 + 478^8 + 524^8 + 748^8 + 1088^8 + 1190^8 + 1324^8.

蔡家雄

不是所有满足  d^4=x^4+y^4+z^4 有正整数解

的d, 也能满足 d^3=a^3+b^3+c^3 有正整数解。


但有部分满足  d^4=x^4+y^4+z^4 有正整数解

的d, 同时满足 d^3=a^3+b^3+c^3 有正整数解。

蔡家雄

猜想：d^5=2*a^5+b^5+c^5 无正整数解。