数论小猜想

lusishun

cz1 发表于 2023-1-14 11:04
lusishun：王守恩老师也开始懂程氏高次方程
a^3+b^4=c^5，王师的解答，
a=20k+8,  b=15k+6,  c=12k+5,
...

用凑指数法解：
设a+b=m，
a·a^2+b·a^2=m·a^2
两边再同乘以：（a^2·b）^3
a^3（a^2·b）^3+（a^2·b）^4=m·a^2·（a^2·b）^3.
两边再同乘以（m·a^8·b^3）^24.
（待续）
（这里的a+b=m，是程先生提示的。没有他的提示，我还得摸索很长时间）

费尔马1

cz1 发表于 2023-1-14 19:04
lusishun：王守恩老师也开始懂程氏高次方程
a^3+b^4=c^5，王师的解答，
a=20k+8,  b=15k+6,  c=12k+5,
...

王守恩老师也开始懂程氏高次方程
a^3+b^4=c^5，王师的解答，
a=2^(20k+8),  b=2^(15k+6),  c=2^(12k+5),
王老师的答案非常棒！

wlc1

  五次方程挑战人类智慧

（1）S^5=A^5+B^5+C^5 有正整数解吗？
若（1）无解，则
（2）S^5=A^5+B^5+C^5+D^5 有正整数解吗？
若（2）无解，则
（3）S^5=A^5+B^5+C^5+D^5+E^5 有正整数解吗？

蔡家雄

【同次素数幂和方程猜想】

若 n 为素数，

则 一个(n^k)次幂表为1+φ(n^k)个(n^k)次幂之和均有正整数解。

一个(2^1)次幂表为1+φ(2^1)=2个(2^1)次幂之和均有正整数解，
一个(2^2)次幂表为1+φ(2^2)=3个(2^2)次幂之和均有正整数解，
一个(2^3)次幂表为1+φ(2^3)=5个(2^3)次幂之和均有正整数解，

一个(3^1)次幂表为1+φ(3^1)=3个(3^1)次幂之和均有正整数解，
一个(3^2)次幂表为1+φ(3^2)=7个(3^2)次幂之和均有正整数解，

一个6次幂表为1+φ(2)+1+φ(3)=5个6次幂之和均有正整数解，

一个10次幂表为1+φ(2)+1+φ(5)=7个10次幂之和均有正整数解，

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-14 22:15
用凑指数法解：
设a+b=m，
a·a^2+b·a^2=m·a^2

接续：X=a^67·b^25·m^8，
           Y=a^50·b·^18·m^6，
           Z=m^5·a^40·b^15.
其中，a，b大于0的整数，a+b=m.

wlc1

五次方程挑战人类智慧

（1）S^5=A^5+B^5+C^5 有正整数解吗？
若（1）无解，则
（2）S^5=A^5+B^5+C^5+D^5 有正整数解吗？
若（2）无解，则
（3）S^5=A^5+B^5+C^5+D^5+E^5 有正整数解吗？

点评 lusishun
（1）种情况，有，  发表于 2023-1-15 13:03

lusishun 发现了新大陆 ？

yangchuanju

网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b；
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
----+----------------------------------------
1 | 1 2 3 4 5 6 7 8
2 | 1 5 3 2 4 3 4 4
3 | 1 0 6 7 4 3 5 2
4 | 1 0 422481 353 5 3 9 13
5 | 1 0 ? 144 72 12 23 14
6 | 1 0 ? ? ? ? 1141 251
7 | 1 0 ? ? ? ? 568 102
8 | 1 0 ? ? ? ? ? 1409
横着看
当k=1时，b=a1+a2+…+an之b最小数是1,2,3,3,4,5,6,7,8，……；见表中第2行的各个数字；
当k=2时，b^2=a1^2+a2^2+…+an^2之b最小数是1,5,3,2,4,3,4,4……；见表中第3行的各个数字；
5——5^2=4^2+3^2；3——3^2=2^2+2^2+1^2；2——2^2=1^2+1^2+1^2+1^2；4——4^2=3^2+2^2+1^2+1^1+1^2；……
当k=3时，b^3=a1^3+a2^3+…+an^3之b最小数是1,0,6,7,4,3,5,2……；见表中第4行的各个数字；
其中的1表示b^3=a1^3，最小底数b=1；0表示不存在b^3=a1^3+a2^2之b；6表示6^3=3^3+4^3+5^3；……
竖着看
当n=1时，b^k=a1^k之最小底数b都是1，见表中第2列；
当n=2时，只有b^1和b^2有解，其中2表示2^1=1^1+1^1；5表示5^2=4^2+3^2；以下的各个0表示当指数k≥3时不存在b^k=a1^k+a2^k；见表中第3列；
当n=3时，见表中第4列数字3,3,6,422481，？，？，……
第1个3——3=1+1+1；第2个3——3^2=2^2+2^2+1^2；6——6^3=3^3+4^3+5^3；422481——422481^4=95800^4+217519^4+414560^4；……
各个问号“？”表示存在b^k=a1^k+a2^k+…+an^k这样的数字解，但没有找到这样的数值，连最小的也未曾找到。
第5列中的353表示最小的一组编号为4.1.4的丢番图方程是353^4=30^4+120^4+272^4+315^4；
第5列中的144表示最小的一组编号为5.1.4的丢番图方程是144^5=27^5+84^5+110^5+133^5；
第6列中的72表示最小的一组编号为5.1.5的丢番图方程是72^5=19^5+43^5+46^5+47^5+67^5。

蔡家雄

网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b；
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
----+----------------------------------------
1 | 1 2 3 4 5 6 7 8
2 | 1 5 3 2 4 3 4 4
3 | 1 0 6 7 4 3 5 2
4 | 1 0 422481 353 5 3 9 13
5 | 1 0 ? 144 72 12 23 14
6 | 1 0 ? ? ? ? 1141 251
7 | 1 0 ? ? ? ? 568 102
8 | 1 0 ? ? ? ? ? 1409
横着看
当k=1时，b=a1+a2+…+an之b最小数是1,2,3,3,4,5,6,7,8，……；见表中第2行的各个数字；
当k=2时，b^2=a1^2+a2^2+…+an^2之b最小数是1,5,3,2,4,3,4,4……；见表中第3行的各个数字；
5——5^2=4^2+3^2；3——3^2=2^2+2^2+1^2；2——2^2=1^2+1^2+1^2+1^2；4——4^2=3^2+2^2+1^2+1^1+1^2；……
当k=3时，b^3=a1^3+a2^3+…+an^3之b最小数是1,0,6,7,4,3,5,2……；见表中第4行的各个数字；
其中的1表示b^3=a1^3，最小底数b=1；0表示不存在b^3=a1^3+a2^2之b；6表示6^3=3^3+4^3+5^3；……
竖着看
当n=1时，b^k=a1^k之最小底数b都是1，见表中第2列；
当n=2时，只有b^1和b^2有解，其中2表示2^1=1^1+1^1；5表示5^2=4^2+3^2；以下的各个0表示当指数k≥3时不存在b^k=a1^k+a2^k；见表中第3列；
当n=3时，见表中第4列数字3,3,6,422481，？，？，……
第1个3——3=1+1+1；第2个3——3^2=2^2+2^2+1^2；6——6^3=3^3+4^3+5^3；422481——422481^4=95800^4+217519^4+414560^4；……
各个问号“？”表示存在b^k=a1^k+a2^k+…+an^k这样的数字解，但没有找到这样的数值，连最小的也未曾找到。
第5列中的353表示最小的一组编号为4.1.4的丢番图方程是353^4=30^4+120^4+272^4+315^4；
第5列中的144表示最小的一组编号为5.1.4的丢番图方程是144^5=27^5+84^5+110^5+133^5；
第6列中的72表示最小的一组编号为5.1.5的丢番图方程是72^5=19^5+43^5+46^5+47^5+67^5。

以上为yangchuanju所发，谢谢分享。
见倒数第4行红色字，我以前也是这样认为的，但，今天，我看：未必！！！！
例 一个k次幂表为四个k次幂之和，
即 s^k=a1^k+a2^k+a3^k+a4^k，仅有 有限个k，即 k有 较小的最大值，
此例 k >100 时，均为无解。甚至可能 k >20 时，均为无解。

lusishun

wlc1 发表于 2023-1-15 10:21
五次方程挑战人类智慧

（1）S^4=A^4+B^4=C^4有正整数解吗？

求：
X^12+Y^8+Z^20=W^4
一组有正整数解
（试一试吧）

yangchuanju

蔡家雄 发表于 2023-1-15 20:28
网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b；
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
---- ...

蔡老师认为当指数k较大时，四个k次幂之和无解，可能是对的；从我转发的那个表的数字变化趋势看，k≥3时三个k次幂之和就无解了，四个k次幂之和、五个k次幂之和是不会永远都有解的。