六边形围栏顶点的色分布

雷明85639720

六边形围栏顶点的色分布
雷  明
（二○一六年二月二十八日）

本来在坎泊提出的平面图的不可免构形中，围栏顶点的数目最大只是5，即5—轮构形的待着色顶点的度。但由于不能证明5—轮构形是可约的，所以在1904年Wernicke提出了用（5，5）等构形来代替5—轮构形的事。所以也就有围栏顶点数是大于等于6的构形了。王树禾在其《图论》一书中又提出了六边形围栏顶点的色分布问题，且在书中对伯克豪夫钻石构形六边形围栏提出了31种分布。论图1943又说六边形围栏的色分布有“好几百个”，后来又说是有“732个”，这么多的分布也不知道是怎么得来的。我现在也对六边形围栏色分布进行如下的分析。
一、六边形围栏的色分布
首先，暂不考虑围栏内的待着色顶点的多少，只说六边形围栏的色分布。六边形围栏中的六个顶点是处于同等的地位的，没有主次之分，无论怎么排序都是可以的。
1、六边形围栏不可能只用一种颜色着色，所以没有色分布。
2、六个顶点只占用两种颜色的情况：只有一种分布，如图1。两种颜色各用三次，交错分布。
3、六个顶点只占用三种颜色的情况：有三种分布，如图2。①　一种颜色用了三次，一种颜色用了两次，一种颜色用了一次，如图2，a；②  三种颜色各用两次,如图2，b和图2，c；



4、六个顶点已占用完四种颜色的情况：有五种分布，如图3。①  一种颜色用了三次，其他三色各用一次，如图3，a；②  两种颜色分别用了两次，其他二色各用一次，如图3，b、图3，c、图3，d和图3，e。
从以上分析看，六边形围栏的色分布有：只占用两种颜色的一种，占用三种颜色的三种和占用四种颜色的五种，共计九种。
二、六边形围栏内只有一个待着色顶点的色分布
这是一个6—轮构形。因为只有一个待着色顶点，所以六边形围栏顶点对于这一个待着色顶点来说，都处于一个同等重要的位置，不分主次，所以这种6—轮构形的围栏色分布也就只有上述的九种。
三、六边形围栏内有两个待着色顶点的色分布
这就是Wernicke提出的用以代替5—轮构形的（5，5）构形，或叫双5—轮构形。在这个构形中，两个待着色顶点相互之间是处于同等重要的位置，都是5—度，互相相邻，各都边接着于六边形围栏的4个顶，可以只研究一个待着色顶点就可以了。然而两个待着色顶点对于围栏顶点却处在不同等的重要位置，加上构形的上下、左右都是对称的，所以我们只要研究把一个待着色顶点与连续的三个围栏顶点相邻，所得到的色分布数就是（5，5）构形围栏顶点的色分布数。
1、由于用了两种颜色的六边形围栏顶点色分布也是上下、左右对称的，所以对（5，5）构形来说，用了两种颜色的围栏顶点色分布也只有如图1的一种；
2、由于用了三种颜色的六边形围栏顶点色分布并不是对称的，所以对于（5，5）构形来说，用了三种颜色的围栏顶点色分布有如图4的九种，每一个待着色顶点与连续的三个围栏顶点相邻，所对应的色分布是：对应图2，a的三种，如图4，a；对应图2，b的三种，如图4，b；对应图2，c的三种，如图4，c。共计九种。



3、用了四种颜色的六边形围栏顶点色分布共5种，对于（5，5）构形来说，用了三种颜色的围栏顶点色分布有如图5的15种，图3即5×3＝15种。
六边形围栏有两个待着色顶点的围栏顶点色色分布共计有25种。即1＋9＋15＝25种。
四、六边形围栏内有四个待着色顶点的色分布
这就是伯克豪夫钻石构形。其围栏内有四个待着色顶点，两对待着色顶点自身，以及对于围栏顶点来说，各都处于不同的重要位置，所以其围栏的色分布就应比（5，5）构形多一倍，即共应有25×2＝50种。


雷  明
二○一六年二月二十八日于长安
   
注：

雷明85639720

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