评张彧典先生对其九构形完备性的证明

雷明85639720

评张彧典先生对其九构形完备性的证明
雷  明
（二○一六年二月二十日）

张彧典先生在他的《四色问题探秘》一书中给出了一个由九个构形构成的构形集，名为“可约H构形不可免集”。首先这个名称就不太合适，应为“H构形的不可避免集”，只有证明了这个“H构形的不可避免集”中的每个构形都是可约的，才能说明四色猜测是正确的。而从张先生的这个名叫“可约H构形不可免集”看，是乎还应有一个不可约H构形的不可免集，从这一角度上说，只要存在着不可约的不可免构形，四色猜测就不能得到证明是正确的。所以说你那个构形应叫“H构形的不可避免集”为好，只要证明了其中的每一个构形都是可约的，那么四色猜测也就是正确的了。
张先生虽然提出了由九个构形构成的H构形的不可避免构形集，但没有证明该构形中再不会有别的构形出现了，或者说该构形集中再不会有第十个构形出现了。张先生在书中虽给了一个证明，但该证明是不能令人信服的。
张先生自已也说了，上海师大吴望名教授对其指出了“问题是你的不可避免构形只有9种，这是没有经过严格数学论证的，当然不可信。”并指出如果你能“将1482种或者633种构形简化为你的9种构形，才有可能获得数学界的认可。”
还有山东大学刘桂真教授也指出了“你的证明（指书中第七章数学归纳法证明）有正确的思想，但是不严密。”还有清华大学林翠琴教授的评论：“如果你能够证明‘最多9次染色调整就可以给任意G-V地图中的V成功4-染色’，那将是轰动世界的成果。”
以上这些专家的评论和指点，都是同一个问题，就是张先生对他的不可避免集的证明还不充分或者不够。后来也还有网友在网上进行的评论，认为其证明不充分。张先生这才给出了一个补充“证明”。用对第八个构形着色中的倒数第二个图进行变化，来证明再不会存在第九个构形了。但要明白，图中色链的关系是可以变化的，但图的结构（即顶点间的相邻关系）是不能再变化的，因为这样变化后的图就不再是原来的图了。张先生的变化正好是把图的结构进行了改变，是把一个四边形面的对角线相互交换了一下，这怎么能行呢。关于这个“证明”我以前已经进行过评论，网友们还可以找找看。
张先生的这个“证明”不能令人信服的地方有二：
首先，张先生既然得出了不可能存需要颠倒八次以上（或难点转化七次以上）的构形，并把他的构形集定在了只可能有八个元素。现在且不说以后还会不会出现需要颠倒八次以上的构形，只说当张先生发现了米勒的图不能用他的颠倒法着色时，又将米勒图作为他的构形集中的第九个构形一事就不应该。现在的问题就出来了，当你发现了米勒图不能用你的着色法着色，就在你的八个构形之后再增加一个构形；那么以后还会不会有如米勒图那样，再出现一个不能用颠倒法着色的图呢。谁也说不上来。而张先生却也没有证明今后就不会再有这样的情况出现了。这怎么能说明你的构形集就是完备的呢。另外，这还反映了一个问题，找不可免构形的标准是什么，如何定。不能一会儿按颠倒的次数划分，一会儿又因为不能用颠倒法着色而增加一个构形。象这样的话不可避免的构形什么时候能找完呢。
其次，用张先生的“用对第八个构形着色中的倒数第二个图进行变化，来证明再不会存在第九个构形了”的方法，类似的“用对第七个构形着色中的倒数第二个图进行变化”，也能来“证明再不会存在第八个构形了”，再类似的“用对第六个构形着色中的倒数第二个图进行变化”，也能来“证明再不会存在第七个构形了”，等等。这样下去，最终也就只会存在由基本的H构形产生的第一、第二、第三，三个构形了。而第四，第五，第六，第七，第八，这五个构形都是不存在的了。由于张先生的第一构形实际上是两个构形，所以这剩下的三个构形，还就是我所说的一个非H—构形（即他的第一构形的实线图），左、右两个半H—构形（即他的第一个构形的虚线图和第三个构形）和一个H—构形（即他的第二个构形），共四个构形。
张先生的《探秘》一书中的证明，前面一部分还是可以的，是可以理解的。张先生所说的四种不同数量的色链的组合，也就是我上面说的四种构形，也就是他的前三个构形。到此，就已经能够说明在BAB型情况下，A—C、A—D两组对角链是连通的、并且相交叉时，只可能产生这些形式的构形，不可能再有别的构形了。这也就是张先生在证明中所说的：“图7•3—1至图7•3—3体现四种不同数量的组合，其中图7•3—1体现前两种组合”。只要这些构形都是可约的，四色猜测也就应该说是被证明是正确的了。当然你如果再想分得更细一些，也是可以的。那就只能再在上述情况下，对A—B、C—D两组邻角链的组合进行研究了。这就只能分为以下四种情况：两链分别只有一条是环形链，另一条是直链的情况两种；和两链都既有环形链部分，又有直链部分，或者两链都只是直链的两种情况；共四种。
当A—B链是环形链，C—D链是两条直链时，就是我说的非H—构形（也即你的第一构形的虚线图）；当C—D链是环形链，而A—B链是两条直链时，就是我说的H—构形（也即你的第二构形）；当A—B、C—D两链都只是一条直链时：在图是九点形图时，就是我说的两种半H—构形（也即你的第一构形的实线图和第三构形）；在图的顶点数大于9时，就是我说的Z—构形（也就是你的第八构形的简化图。这个简化图中的色链并不象H—构形中那样是左右对称的；当然也可以画出与其对称的另一个影子构形，象你的条一构形的实线图与第三构形那样互为“影子”一样）；当A—B、C—D两链都既有环形部分，又有直链部分，且都被其相反的环形色链（A—B和C—D互为相反色链）分隔成不相通的部分时，就是米勒的M—构形（即你的第九构形）。
在以上的四种数量组合下，再加上A—B、C—D两链的不同组合，就只能有以上的五种情况：即非H—构形（即你的第一构形的虚线图），半H—构形（即你的第一构形的实线图和第三构形），H—构形（即你的条二构形），Z—构形（即你的第八构形的简化图）和M—构形（即你的第九构形），共五种。这就是H—构形的不可免集。你只所以认为是三种，是因为你把你的第一构形的两种认为是一种，把第二构形和第八构形也认为是一种的原因，加上M—构形，你认为共计是三种。而我则把非H—构形和半H—构形排除在H—构形之外，认为是属于K—构形之列（因为它们都是可同时移去两个同色的构形）；把H—构形（即你的第二构形）与Z—构形（即你的第八构形的简化图）分别看作两类，加上M—构形，仍然也是三种。但如果我把有A—C、A—D两链既连通又交叉的情况下的各种构形都看作是H—构形，不管其是否能够同时移去两个同色时，我的构形集中就是五种构形。而你的构形集中，把第一构形的虚线图看作一个构形，把第一构形的实线图和第三构形看作一个构形，把第二构形和第八构形分开两个看待时，也是五种构形。两个构形集中的元素完全是相同的。所以说我们各自的集合中，从非K—构形以外的构形看，共计都是只有五种构形，且各自对应相同。所以说两个集合是完全相同的集合。
这就是我们两个认识相同的地方。当然认识不同的地方还有你证明的后一部分。
我认为以上的证明完全能够说明再不会存在别的什么构形了，并且已经考虑到的构形都是可约的，也就证明了四色猜测是正确的。                                                                                                                                                        
再看看你证明的后一部分，虽谈到了12种不同的位置组合，但并没有举例说明是如何组合的，而只是用了一句话：“图7•3—4至图7•3—7体现图7•3—3数量组合不变时依次增多的相交组合，其中图7•3—8已包含了12种相交组合。7•3—9体现7•3—2对称数量组合时C—D链左右对称相交变换后之相交组合。”轻轻的交代了一下，很不明确。要知道这是一个非常关键的地方，不交代清楚是不行的。在你的图中是从哪里、是如何体现了这12种相交组合的，你是没有交代明白嘛。另外其中的“7•3—9体现7•3—2对称数量组合时C—D链左右对称相交变换后之相交组合”一句也很难理解。难怪专家们，教授们都指出了你的证明是不足的。所以我认为你这后一部分的证明实在是多余的，不但没有起到作用，反而起了负面作用。

雷  明
二○一六年二月二十一日于长安

注：此文已于二○一六年二月二十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：