证明四色猜测的一种新思想

雷明85639720

证明四色猜测的一种新思想
雷  明
（二○一五年十月二十八日）

1、色链：
由四种颜色A，B，C，D可能组成的色链有六种：即A—B，A—C， A—D，B—C，B—D，C—D六种。如果两条色链中没有共同的颜色，称为相反色链。如果两条色链中有一种颜色相同，另外一种不同时，称为相邻色链。如果两条色链中的两种颜色全相同，则称为相同色链。相邻色链可以相接（有同一个端点）和相交叉（即可以相互穿过）。相反色链不可能有相同的顶点，也不可能相交叉，即不能相互穿过。
2、色链的连通性：
一个轮构形的对角顶点所着的两种颜色所构成的色链，叫对角链。若对角链在两对角顶点间是连通的，且与轮构形的中心顶点（待着色顶点）构成一个圈时，这样的色链叫连通链。若一条色链是偶数链，且首尾顶点是同一个顶点时，就叫环形链。两条相邻色链互相交叉时，称为交叉链。两条相邻色链的起始顶点是同一个顶点时，叫“对顶”链。树状色链叫直链。带有圈的色链叫环形链等等。
3、色链交换：
色链交换就是坎泊所创造的颜色交换技术，即把同一条色链内各顶点所着的两种颜色交换一次，以达到改变链中每个顶点颜色的目的。色链交换的目的，是多方面的：主要的是为了从某个轮构形的轮沿顶点（即构形的围栏顶点）中空出颜色，给待着色的轮中心顶点着上；另外还有目的只是为了破坏某条色链的连通性；也有交换的目的是为了使某链中某个顶点颜色改变的。总之任何色链的交换，都是为了达到改变构形中某个顶点所着颜色的目的的。
4、构形的可约性：
构形是否可约，也就是该构形是否可以4—着色。证明某构形的可约性时，往往要用到坎泊创造的颜色交换技术，这一技术是与色链紧紧相连的。一个轮构形的对角顶点所构成的对角链是否连通，决定着能否通过交换该色链而空出颜色来给待着色的轮中心顶点着上。但只有在对角链不连通时，才可交换，也才能从轮沿顶点（围栏顶点）中空出颜色来。连通链的对角链是不能交换的，即就是交换了也不能空出颜色来。通过施行坎泊的颜色交换技术，能够给待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一的构形，是可约的构形，否则该构形就不可约。
5、5—轮构形：
5—轮构形，实际上画出来就是一个5—轮。该轮的中心顶点就是构形的待着色顶点；5个轮沿顶点就是构形的围栏顶点。5—轮构形在轮沿顶点占用完了四种颜色的情况下，一定是有两个顶点是用了同一种颜色的，这两个顶点间一侧最少相隔一个别的顶点，另一侧最多相隔两个别的顶点。设5—轮的5个轮沿顶点用了两次的颜色是B，其余的A、C、D三种颜色各用了一次。5个轮沿顶点的着色分别是：1B，2A，3B，4D，5C。该构形围栏顶点外可能形成的对角连通链有A—C，A—D，B—C，B—D；含有5—轮构形轮沿顶点的环形链可能有A—B，C—D；对顶链只可能有A—C和A—D，交叉链只可能有B—C和B—D，既对顶又交叉的链也只可能有A—C和A—D；对顶的连通链只可能是A—C和A—D，交叉的连通链只可能是B—C和B—D，既对顶又交叉的连通链也只可能是A—C和A—D。如果能证明5—轮构形是可约的，就能证明四色猜测是正确的。
6、5—轮构形的可约性：

K—构形：当5—轮构形不含连通链，或只有一条连通链，或有两条相邻的对顶链A—C与A—B，或有两条相邻的交换链B—C与B—D时，构形都是可约的；虽有相邻的既对顶又交叉的连通链A—C与A—D，但又含有包含5—轮轮沿顶点的环形的A—B链时，是可以同时移去两个同色B的，构形也是可约的；虽有相邻的既对顶又交叉的连通链A—C与A—D，但A—B，C—D链都是直链时，也可有选择性的进行交换B—C或B—D，同时移去两个同色B，构形也是可约的。以上的构形我们都叫他K—构形，即坎泊构形。如图1中的一些构形都是K—构形。
H—构形：既有相邻的既对顶又交叉的连通链A—C与A—D，又含有包含5—轮轮沿顶点的环形的C—D链，把A—B链分成了环内环外互不连通的两部分。若交换了B—C后虽可移去一个同色B，但又产生了连通的B—D链，不能同时移去两个同色B；同样的，若交换了B—D链后虽可移去一个同色B，但又产生了连通的B—C链，也不能同时移去两个同色B。这样的构形就是赫渥特构形，即H—构形。是不是这个构形就没法解决呢，不是的。我们发现H—构形中有一条环形的C—D链，它把A—B链分成了互不连通的两部分，交换任一部分A—B链，都可使原来相邻的既对顶又交叉的连通链A—C与A—B“断链”，变得不再连通，使构形变成K—构形。这时可再施行一次坎泊的颜色交换技术，就可空出颜色来给待着色顶点着上。如图2，a就是H—构形。

M—构形：既有相邻的既对顶又交叉的连通链A—C与A—B，又有包含5—轮轮沿顶点的环形的A—B链，两条C—D链被环形的A—B链分成了环内环外互不连通的两部分。与H—构形相同，该构形同样是不能同时移去两个同色B的。解决的办法与H—构形一样，也是想办法使A—C与A—D连通链“断链”，如何断，就是交换被A—B环形链隔开的互不连通的任一部分C—D链，构形就变成了K—构形。成为可约的构形。这种构形就是米勒图，简称M—构形，如图2，b就是M—构形。
与M—构形基本相同的还有一个，其中的相邻的既对顶又交叉的连通链A—C与A—D均是两条。解决办法与M—构形相同，也是交换任一部分C—D链，使构形变成K—构形，也就一定是可约的了。这一构形如图2，c，是笔者自已构造的。
Z—构形：从图2中看出，H—构形，M—构形和图2，c的M—构形，都是左右对称的，而有一种构形只取了H—构形与图2，c的M—构形的各一半，构成一个左右不对称的构形（图2，d），图中没有任何的环形链，这就是Z—构形，是张彧典先生构造的第八个构形的简化图。似乎这个构形中的六种链都是不能交换的，但在交换了一条关于同色B的链B—C（张先生把这一交换方法叫做“赫渥特颠倒”）后，却可以使构形“变型”（张先生叫“构形转化”），虽然又产生了连通的B—D链，但却变成了新的构形中的相邻的既对顶又交叉的连通链的一条D—B，5—轮轮沿顶点中着相同颜色的两个顶点的位置也变得不同原先了，“同色”的颜色变成了C，与前也不同了，两条相邻的既对顶又交叉的连通链也不是原来的链了，而变成了D—A和D—B。但这时的构形就变成了一个两个同色是C的H—构形了（读者自已画图试一试看）。再按H—构形处理就行了，再变成K—构形，一定是可约的。则Z—构形也是可约的。
7、构形分类：
对以上的M—构形和Z—构形的研究还可发现，对他们进行了赫渥特渥特颠倒后，得到的转型后的图都是H—构形。当对H—构形再进行赫渥特颠倒后，也可以使H—构形转化为非H—构形的K—构形。由于这一原因，我们可以把以上的H，M，Z三类构形都称为H—构形，因其除了有单独的解决方法外，还有统一的解决方法——赫渥特颠倒法。所以从大的方面，构形就只分为两大类：K—构形和H—构形。
8、构形的概念：
从我们在上面对5—轮构形可约性的研究，还可以看出，构形的概念是与构形中的顶点的着色有关的，同一个构形（图），各顶点的着色不同，可以是不同的构形，如米勒图，可以是M—构形，也可以是H—构形，待着色顶点仍是同一个顶点；Z—构形的张氏图，可以是Z—构形，还可以是H—构形，待着色顶点仍是同一个；赫渥特的图，可以是H—构形，也可以是K—构形，还是同一个待着色顶点；米勒图，张氏图也都可以是K—构形。所以我认为“构形”严格的说就是“只剩下一个顶点未着色的图”。
9、色链交换与构形可约：
从以上研究可以看出只要有一条对角链不连通，构形就是可约的；交换了两条关于同色顶点的链，可同时称去两个同色的构形也是可约的；采用“断链”的方法可使相邻的既对顶又交叉的连通链变得不连通的构形也是可约构形；采用“赫渥特颠倒”的方法可使构形转型的构形也是可约的。四种颜色所能构成的六种色链，到目前都已经交换过了，再也不可能有别的色链进行交换了。这是否可以就认为再不会有别的类型的5—轮构形了呢，我一下子还不能吃准。那么也就不能一下子下结论说四色猜测就得到了证明。
10、四色猜测的证明：
现在我们已经分析了5—轮构形在目前所知道的各种情况下均是可约的，即是可4—着色的。如果说能证明再不会有别的5—轮构形出现，那么，到此四色猜测就可以得到证明是正确的；若不能证明再没有别的5—构形出现，则还不能说明四色猜测就得到了证明。可惜，现在我们还不能证明还会不会有别的5—轮构形的出现。所以我还是认为走不画图，不着色的证明道路最好。

雷  明
二○一五年十月二十八日于长安

注：此文已于二○一五年十月二十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：