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楼主: 蔡家雄

用公式法求解特殊佩尔方程

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 楼主| 发表于 2024-4-5 18:12 | 显示全部楼层
蔡氏完全循环节问题

设 k , r 为非负整数,

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数,

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。
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 楼主| 发表于 2024-4-5 18:14 | 显示全部楼层
具有完全循环节的一条龙素数及其代码

设 n >=2 ,              
                                                         
若 (2*10^n+7)/9 是素数,则 10 是这个素数的原根。                                          
                                                                              
有 n=2, 3, 8, 11, 36, 95, 101, 128, 260, 351, 467, 645, 1011, 1178, 1217, 2442, 3761, 3806, 15617, 26459, 63117, 88545, 93497, ......


设 n >=2 ,   
                                                                 
若 (4*10^n+23)/9 是素数,则 10 是这个素数的原根。                                               
                                                                                 
有 n=2, 4, 10, 20, 26, 722, 1310, 3170, 28934, 66284, 67796, 231254, 338476, ......


设 n >=2 ,      
                                                                       
若 (8*10^n - 17)/9 是素数,则 10 是这个素数的原根。                                       
                                                                           
有 n=3, 4, 6, 9, 12, 72, 118, 124, 190, 244, 304, 357, 1422, 2691, 5538, 7581, 21906, 32176, 44358,......  


设 n >=2 ,   

若 (2*10^n+61)/9 是素数,则 10 是这个素数的原根。                                       
                                                                                       
有 n=2, 3, 5, 14, 176, 416, 2505, 2759, 7925, 9401, 10391, 12105, 19616, 261704, 264539,.......


B类具有完全循环节的一条龙素数,

若 (2*10^n - 23)/3 是素数,则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000内的 n={2, 3, 4, 26, 44, 58, 73, 88, 211, 244, 1393, 2282, 4108, 6777, 7480, 14369, 16153, 21081, 24308, 27368, 43455, 51597, 55559, 67405, 88112}


B类具有完全循环节的一条龙素数,

若 (2*10^n - 59)/3 是素数,则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000内的 n={2, 3, 6, 9, 10, 14, 15, 34, 49, 56, 138, 250, 350, 357, 374, 392, 1594, 4794, 5290, 6702, 11936, 22296, 55762, 55834, 96195}


C类具有完全循环节的一条龙素数,

若 (8*10^n - 11)/3 是素数,则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000以内的 n={1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 21, 30, 68, 73, 169, 176, 345, 823, 1021, 1191, 2073, 2755, 10717, 14673, 16754, 17606, 81029}


D类具有完全循环节的一条龙素数,

蔡氏完全循环节问题

若 \(2*10^n - 51\) 是素数,则 10 是这个素数的原根


谢谢树新蜂老师提供100000以内的 n={2, 3, 4, 8, 11, 13, 17, 28, 56, 105, 231, 339, 643, 922, 1219, 1880, 2209, 4238, 4987, 14770, 56194, 67043, 96867}

已知:10 是素数 149 的原根,

已知:10 是素数 1949 的原根,

已知:10 是素数 19949 的原根,

判断:10 是素数 199999949 的原根,

判断:10 是素数 199999999949 的原根,

判断:10 是素数 19999999999949 的原根,

判断:10 是素数 199999999999999949 的原根,

判断:10 是素数 19999999999999999999999999949 的原根,

判断:10 是素数 199999999999999999999999999999999999999999999999999999949 的原根,

判断:10 是素数 1999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999949 的原根,


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 楼主| 发表于 2024-4-8 21:06 | 显示全部楼层
蔡氏完全循环节问题

若 \(3^{2n}+2^{2n+1}\) 是素数,

则 \(10\) 是素数 \(3^{2n}+2^{2n+1}\) 的原根。

谢谢 Treenewbee , 时空伴随者 提供的数据,

2n={2, 4, 6, 12, 22, 32, 36, 46, 80, 154, 236, 250, 992, 2072, 3616, 3702, 5076, 10984, 12350, 13660, 30286, 33220, 50192}


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 楼主| 发表于 2024-4-23 17:48 | 显示全部楼层
设:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78,  ... 是三角形数,

求:\(1/10+3/10^2+6/10^3+10/10^4+15/10^5+21/10^6+28/10^7+ …\) 之和
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发表于 2024-4-28 20:03 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2024-4-23 17:48
设:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78,  ... 是三角形数,

求:\(1/10+3/10^2+6/10^3+10/10 ...

\[S_n=\frac{100}{729}-\frac{81 n^2+261 n+200}{1458*\ 10^n}\]

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