用公式法求解特殊佩尔方程

蔡家雄

谢谢 yangchuanju 提供，

A099410
Numbers k such that 2*R_k + 7 is prime, where R_k = 11...1 is the repunit (A002275) of length k.
0, 2, 3, 5, 14, 176, 416, 2505, 2759, 7925, 9401, 10391, 12105, 19616

22229|2w9                               |(2*10^n+61)/9                          |n=2,3,5,14,176,416,2505,2759,7925,9401,10391,12105,19616,261704,264539


A098089
Numbers k such that 7*R_k + 2 is prime, where R_k = 11...1 is the repunit (A002275) of length k.
0, 2, 66, 86, 90, 102, 386, 624, 7784, 18536, 113757, 135879

77779|7w9                               |(7*10^n+11)/9                          |n=2,66,86,90,102,386,624,7784,18536,113757,135879

蔡家雄

佩尔恒等式 \((a+1)^2-a(a+2)=1\),

设 \(a=n^2\), 则有 \((n^2+1)^2-n^2(n^2+2)=1\).

设 \(a=n^3\), 则有 \((n^3+1)^2-n^3(n^3+2)=1\).


设 \(n\) 为正整数，

设 \(x^2-n(n+1)y^2=1\),

则 \(x=2n+1\) ,  \(y=2\) .


设 \(n\) 为大于等于2正整数，

设 \(x^2-(n^2-1)y^2=1\),

则 \(x=n\) ,  \(y=1\) .


设 \(n\) 为正整数，

设 \(x^2-(n^2+1)y^2=1\),

则 \(x=2n^2+1\) ,  \(y=2n\) .


设 \(n\) 为大于等于2的正整数，

设 \(x^2-(n^2-2)y^2=1\),

则 \(x=n^2-1\) ,  \(y=n\) .


设 \(n\) 为正整数，

设 \(x^2-(n^2+2)y^2=1\),

则 \(x=n^2+1\) ,  \(y=n\) .


设 \(n\) 为大于等于2正整数，

设 \(x^2-(n^2-1)y^2=1\),  则 \(x=n\) ,  \(y=1\) .

设 \(n\) 为大于等于2正整数，

设 \(x^2-(n^2-1)y^2=-1\), 则 \(x=无解\) ,  \(y=无解\) .


设 \(n\) 为正整数，

设 \(x^2-(n^2+1)y^2=1\),  则 \(x=2n^2+1\) ,  \(y=2n\) .

设 \(n\) 为正整数，

设 \(x^2-(n^2+1)y^2=-1\), 则 \(x=n\) ,  \(y=1\) .

朱明君

\(设n为任意正整数，\)\(则\left( n^2+1\right)^2-\ n^2\left( \ n^2+2\right)=1{,}\)
\(2^2-1^2\times3=1，\)
\(5^2-2^2\times6=1，\)
\(10^2-3^2\times11=1，\)
\(17^2-4^2\times18=1，\)
\(26^2-5^2\times27=1，\)
\(37^2-6^2\times38=1，\)

蔡家雄

设 k 为正整数，r 为非负整数，

若 20k+3 与 (20k+3)^(4r+1)*2+1 都是素数，则 10 是素数 (20k+3)^(4r+1)*2+1 的原根。

若 20k+9 与 (20k+9)^(4r+1)*2+1 都是素数，则 10 是素数 (20k+9)^(4r+1)*2+1 的原根。

若 20k+11 与 (20k+11)^(4r+1)*2+1 都是素数，则 10 是素数 (20k+11)^(4r+1)*2+1 的原根。


若 30k+7 与 120k+29 都是素数，

则 g=2, 3, 10 是素数 120k+29 的三个原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 g=2, 3, 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的三个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 都是素数，

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 的四个原根。

cz1

请 Treenewbee 计算，MultiplicativeOrder[10, (2*10^15 - 59)/3 ]，谢谢！

Treenewbee

cz1 发表于 2024-1-7 20:56
请 Treenewbee 计算，MultiplicativeOrder[10, (2*10^15 - 59)/3 ]，谢谢！

666666666666646

Treenewbee

cz1 发表于 2024-1-7 20:56
请 Treenewbee 计算，MultiplicativeOrder[10, (2*10^15 - 59)/3 ]，谢谢！

MultiplicativeOrder[10, (2*10^15 - 59)/3]=666666666666646

wlc1

请 Treenewbee 计算，MultiplicativeOrder[10, (2*10^34 - 59)/3 ]，谢谢！

蔡家雄

C类具有完全循环节的一条龙素数可能成立，

判断：10 是素数 263 的原根，

判断：10 是素数 2663 的原根，

判断：10 是素数 266663 的原根，

判断：10 是素数 2666663 的原根，

判断：10 是素数 26666663 的原根，

判断：10 是素数 26666666666663 的原根，

判断：10 是素数 266666666666666666666663 的原根，

判断：10 是素数 2666666666666666666666666666663 的原根，

判断：10 是素数 266666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666663 的原根，

判断：10 是素数 26666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666663 的原根，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-1-13 22:35
C类具有完全循环节的一条龙素数可能成立，

判断：10 是素数 263 的原根，

100000之内的解： n={1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 21, 30, 68, 73, 169, 176, 345, 823, 1021, 1191, 2073, 2755, 10717, 14673, 16754, 17606, 81029}