用公式法求解特殊佩尔方程

Treenewbee

\[\left(2^{8706} 3^{184275}\right)^{32}+\left(2^{2211} 3^{46800}\right)^{126}+\left(2^{2143} 3^{45360}\right)^{130}=\left(2^{2079} 3^{44006}\right)^{134}\]

cz1

求：\(a^2+4ab+b^2=c^2\) 的通解公式，可以有吗？

wlc1

求：\(a^2+9ab+b^2=c^2\) 的通解公式，可以有吗？

Treenewbee

cz1 发表于 2024-3-4 21:15
求：\(a^2+4ab+b^2=c^2\) 的通解公式，可以有吗？

\[ a^2+4ab+b^2=c^2 \implies \left(\frac a c\right)^2+4\left(\frac a c\right)\left(\frac b c\right)+\left(\frac b c\right)^2=1\implies m^2+4mn+n^2=1\]

令 \[n=km-1\]
可得到 \[m^2+4m(km-1)+(km-1)^2=1\]

\[\ m=0; m=\frac{2k+4}{k^2+4k+1}\]
\[(a,b,c)=(0,k,k),(k^2-1,2k+4,k^2+4k+1)\]

Treenewbee

wlc1 发表于 2024-3-4 21:25
求：\(a^2+9ab+b^2=c^2\) 的通解公式，可以有吗？

\[ a^2+9ab+b^2=c^2 \implies \left(\frac a c\right)^2+9\left(\frac a c\right)\left(\frac b c\right)+\left(\frac b c\right)^2=1\implies m^2+9mn+n^2=1\]

令 \[n=km-1\]
可得到 \[m^2+9m(km-1)+(km-1)^2=1\]

\[\ m=0; m=\frac{2k+9}{k^2+9k+1}\]
\[(a,b,c)=(0,n,n),(k^2-1,2k+9,k^2+9k+1)\]

Treenewbee

\[a=k^2-1;b=2 k+r;c=k^2+r k+1;a^2+r a b +b^2=c^2\]

wlc1

题：\(a^3+b^3+c^3+abc=d^3\)

解：\(a=n, b=6n, c=9n, d=10n .\)

wlc1

题：\(a^3+b^3+c^3+2abc=d^3\)

解：\(a=3n, b=4n, c=10n, d=11n .\)

蔡家雄

设：\(f_{n}=1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... \)

求：\(f_{n}^2+f_{n+1}^2+f_{2n-1}=\)

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-3-7 21:00
设：\(f_{n}=1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... \)

求：\(f_{n}^2+f_{n+1}^2+f_{2n-1}=\)

\[\frac{(3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n}{2^n}\]
\[\left\lceil \left(\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right)\right)^{2 n}\right\rceil\]