用公式法求解特殊佩尔方程

蔡家雄

诸恶莫作，众善奉行，自净其意，是诸佛教。

蔡家雄

求：\(x^5+y^{11}=z^{13}\)

谢谢 Treenewbee 的一题多解！！！

解：\(\left(2^{88} 3^{13}\right)^5+\left(2^{40} 3^6\right)^{11}=\left(2^{34} 3^5\right)^{13}\)

假设：\(1=2^{440}*3^{65}\)，且指数440和65都是5的倍数，

则：\(1*3^1=2^{440}*3^{66}\)，且指数440和66都是11的倍数，

则：\(1*2^2=2^{442}*3^{65}\)，且指数442和65都是13的倍数，

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
a=5k ,           b=5k ,
a=11k ,         b+1=11k ,
a+2=13k ,    b=13k ,
a=55k ,         b=65k ,
a+2=13k ,    b+1=11k ,

故，a=440,   b=65,


解：\(\left(2^{44}\right)^5+\left(2^{20}\right)^{11}=\left(2^{17}\right)^{13}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
设：5k=13k -1 ,  11k=13k -1 ，55k=13k -1，

故：5*44=13*17 -1，11*20=13*17 -1，

蔡家雄

求：\(x^6+y^{10}=z^{13}\)

谢谢 Treenewbee 的一题多解！！！

解：\(\left(2^{13} 5^{15}\right)^6+\left(2^8 5^9\right)^{10}=\left(2^6 5^7\right)^{13}\)

假设：\(1=2^{78}*5^{90}\)，且指数78和90都是6的倍数，

则：\(1*2^2=2^{80}*5^{90}\)，且指数80和90都是10的倍数，

则：\(1*5^1=2^{78}*5^{91}\)，且指数78和91都是13的倍数，

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
a=6k ,           b=6k ,
a+2=10k ,    b=10k ,
a=13k ,         b+1=13k ,
a=78k ,         b=30k ,
a+2=10k ,    b+1=13k ,

故，a=78,    b=90,


解：\(\left(2^{15}\right)^6+\left(2^9\right)^{10}=\left(2^7\right)^{13}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
设：6k=13k -1 , 10k=13k -1 ，30k=13k -1，

故：6*80=13*37 -1，10*48=13*37 -1，

蔡家雄

设：\(x^{2a}+y^{2b}+z^{2c}=w^{2d}\) 是 有解方程，

用：\(1^2+2^2+2^2=3^2\)，仅供参考，，，，


设：\(x^{a}+y^{b}+z^{c}=w^{d}\) 是 有解方程，

用：\(1^t+2^2+2^2=3^2\)，仅供参考，，，，

用：\(1^r+1^t+5^2=3^3\)，仅供参考，，，，

蔡家雄

求 勾股方程 \((x^{15})^2+(y^{8})^2=(z^{17})^2\)

由 \((2^{0}*3^{1}*5^{0})^2+(2^{2}*3^{0}*5^{0})^2=(2^{0}*3^{0}*5^{1})^2\)

得 \((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{0+c})^2+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{0+c})^2=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^2\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=15k ,     1+b=15k ,     0+c=15k ,
2+a=8k ,       0+b=8k ,       0+c=8k ,
0+a=17k ,     0+b=17k ,     1+c=17k ,
0+a=255k ,   0+b=136k ,   0+c=120k ,
2+a=8k ,       1+b=15k ,     1+c=17k ,

故，a=510 ,   b=1904 ,       c=1920 ,

解：\((2^{510}*3^{1905}*5^{1920})^2+(2^{512}*3^{1904}*5^{1920})^2=(2^{510}*3^{1904}*5^{1921})^2\)

即：\(((2^{34}*3^{127}*5^{128})^{15})^2+((2^{64}*3^{238}*5^{240})^{8})^2=((2^{30}*3^{112}*5^{113})^{17})^2\)

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-2-20 16:39
求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(1^t+2^2+2^2=3^2\)，

\[\left (2^{1582693} \right)^{139} + \left (2^{1605798} \right)^{137} + \left (2^{1679346} \right)^{131} = \left (2^{1476472} \right)^{149}\]

\[\left (2^{1744969} \right)^{139} + \left (2^{1770443} \right)^{137} + \left (2^{1851532} \right)^{131} = \left (2^{1627857} \right)^{149}\]

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(1^t+2^2+2^2=3^2\)，

得：\(2^a*3^b+2^{a+2}*3^b+2^{a+2}*3^b=2^a*3^{b+2}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
a=131k ,                  b=131k ,   
a+2=137k ,              b=137k ,   
a+2=139k ,              b=139k ,   
a=149k ,                  b+2=149k ,     
a=131*149k ,           b=131*137*139k ,
a+2=137*139k ,      b+2=149k ,

故，a=248320718 ,  b=361721785 ,

解：\((2^{1895578}*3^{2761235})^{131}+(2^{1812560}*3^{2640305})^{137}+(2^{1786480}*3^{2602315})^{139}=(2^{1666582}*3^{2427663})^{149}\)


用：\(1^r+1^t+5^2=3^3\)，

得：\(3^a*5^b+3^a*5^b+3^a*5^{b+2}=3^{a+3}*5^b\) ,

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
a=131k ,                   b=131k ,   
a=137k ,                   b=137k ,     
a=139k ,                   b+2=139k ,  
a+3=149k ,               b=149k ,   
a=131*137*139k ,    b=131*137*149k ,
a+3=149k ,              b+2=139k ,   

故，a=356732519 ,  b=88245399 ,   

解：\((3^{2723149}*5^{673629})^{131}+(3^{2603887}*5^{644127})^{137}+(3^{2566421}*5^{634859})^{139}=(3^{2394178}*5^{592251})^{149}\)

蔡家雄

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-2-20 20:17
求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(1^t+2^2+2^2=3^2\)，

\[(2^{539529}*3^{903743})^{131} + (2^{515900}*3^{864163})^{137} + (2^{508477}*3^{851729})^{139} = (2^{474351}*3^{794566})^{149}\]

Treenewbee

\[2^1+2^4+3^2=3^3\]