【证明介绍】 费尔马当年的巧妙证明

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可点击  xujunjie228.blog.163.com  查看！这里，把该文核心内容，摘录如下。

      【费尔马大定理】不定方程

                     x^n + y^n = z^n  ( 其中，x^n 表示 x 的 n 次方。其它的类似 )     (1)

在 n > 2 时，无正整数解。

      【证明】假设 (1) 式有正整数解 x，y，z ，并且彼此互素。因为 z > y，所

以可设 z = y+a  ( a > 0 ) 。由 (1) 式，可有

                                            x^n = ( y+a )^n -  y^n                                            (2)

      把 (2) 式右端按 n 次方差公式展开，可有

       x^n = [ (y+a) - y ] [ (y+a)^(n-1) + (y+a)^(n-2) y +

       + (y+a)^(n-3) y^2 + … + (y+a)^2 y^(n-3) + (y+a) y^(n-2) + y^(n-1) ]     (3)

      因为 y+a > y，所以 (3) 式右端多项式中 n 个项之值，从左到右是逐项减小

的。把其中的值最大项 (y+a)^(n-1) 和 值最小项 y^(n-1)，分别乘以 na，可有

                                   na (y+a)^(n-1) > x^n > na y^(n-1)                                  (4)

这样，根据 (4) 式，在 y+a 与 y 之间，必定存在一个数 k  ( a > k > 0)，使得

                                           x^n = na ( y+k )^(n-1)                                             (5)

      分别把 (2) (5) 式右端按二项式公式展开，可有

        x^n = C(n,1) a y^(n-1) + C(n,2) a^2 y^(n-2) + C(n,3) a^3 y^(n-3) +

                   + C(n,4) a^4 y^(n-4) + … + C(n,n-1) a^(n-1) y + a^n                     (6)

        x^n = na [ y^(n-1) + C(n-1,1) k y^(n-2) + C(n-1,2) k^2 y^(n-3) +

                   + C(n-1,3) k^3 y^(n-4) + … + C(n-1,n-2) k^(n-2) y + k^(n-1) ]       (7)

这里，             C(u,v) = u ! / [ v ! (u- v) ! ]    ( v = 0，1，2，… ，u )                   (8)

      因为 (6) (7) 式相等，并且其右端多项式中均有 n 个项，所以对于 y 来说，

两式相对应的各项系数和常数项，是分别相等的。因此，可有

                               C(n,1) a = na，C(n,2) a^2 = C(n-1,1) na k，

             C(n,3) a^3 = C(n-1,2) na k^2，C(n,4) a^4 = C(n-1,3) na k^3 ，… ，

                       C(n,n-1) a^(n-1) = C(n-1,n-2) na k^(n-2)，a^n = na k^(n-1)       (9)

于是，在 n > 2 时，(9) 式中除 C(n,1) a = na 式以外，可分别有 n - 1 个式子。

           在 n = 3 时，可有 a = 2k，a^2 = 3 k^2 。

           在 n = 4 时，可有 a = 2k，a^2 = 3 k^2，a^3 = 4 k^3 。……

           在 n = n 时，可有 a = 2k，a^2 = 3 k^2，a^3 = 4 k^3 ，… ，

                        a^(n-2) = (n-1) k^(n-2)，a^(n-1) = n k^(n-1)                            (10)

可是，在 a = 2k 时，可有

                  a^2 = 4 k^2，a^3 = 8 k^3 ，… ，

                 a^(n-2) = 2^(n-2) k^(n-2)，a^(n-1) = 2^(n-1) k^(n-1)                    (11)

      因为(11) 式中各式所得之值，并不分别等于(10)式中相应各式之值，所以

要使 (10) 式中各式同时成立，只有在 a = 0 时才行 。这与假设 a > 0 相矛盾。

因此，费尔马大定理成立。

      另外，该文的【附】和【注】，可直接到该博客中去查看！谢谢！



            

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       不知何故，最近 xujunjie228.blog.163.com 不登录，其博文就不能显示。
下边，把《费尔马当年的巧妙证明》一文余下的【附】和【注】等全文转发。

     【附】在 n = 2 时，按以上所设条件，因为在 z 为偶数时，已证 (1) 式无

正整数解，所以可设 x 为偶数，则 a 也为偶数。

      由 (2) (5) 式，可分别有

                              x^2 = 2ay + a^2 ，x^2 = 2ay + 2ak                           (12) (13)
  
再由 (12) (13) 式，可有 a = 2k 。把它代入 (2) 式，可有

                                           x^2 = 4k ( y + k )                                                   (14)

于是，由 (14) 式。可以分别取得

                                  4k = (2v)^2 ，y + k = u^2                                      (15) (16)

      把 (15) (16) 式代入 (14) 式，并把 (15) 式代入 (16) 式，可分别有

                                    x= 2uv，y = u^2 - v^2                                          (17) (18)

再把 (15) (18) 式代入 z = y + a，因为 a = 2k，可有

                                         z = u^2 + v^2                                                          (19)

这里，( u，v ) = 1，u > v > 0，u 和 v 为一奇一偶。
   
      当然，在 ( x，y，z ) = d ( d > 1 ) 时， 由(17) (18) (19) 式，也可以求出

n = 2 时 (1) 式的正整数解。

      同理，也可以证明，在 n = 1 时，可有 x + y = z ，即任意大于 1 的正整

数，均可表为两个正整数之和。


      以下详细说明一下，为什么由 (14) 式，可以分别取得 (15) (16) 式 ？

    （i）在 u 为奇数，v 为偶数时，因为 ( u，v ) = 1，由 (15) (16) 式，可有

                                    ( 4k，y + k ) = ( 4 v^2，u^2 ) = 1                                (20)

显然，此时由 (14) 式，可以分别取得 (15) (16) 式。

      (ii) 在 u 为偶数，v 为奇数时，因为 ( u，v ) = 1，由 (15) (16) 式，可有

                                    ( 4k，y + k ) = ( 4 v^2，u^2 ) = 4                              （21）

      由 (14) 式可知，此时 4 必定整除 x 。于是，可设

                                         4f = x，4s = 4k，4t = y + k                       (22) (23) (24)

这里，( s，t ) = 1。根据 (22) (23) (24) 式，(14) 式可化简为

                                                    f^2 = s t                                                         (25)
  
由 (25) 式，可有                   s = c^2，t = e^2                                           (26) (27)

      根据 (22) (23) (24) 式，以及 (26) (27) 式，可分别有

                                    4k = (2c)^2，y + k = (2e)^2                                  (28) (29)

这样，由 (14) (22) (28) (29) 式，可有

                                   x^2 = ( 4f )^2 = (2c)^2 (2e)^2                                      (30)

这里，( c，e ) = 1，c = v，2e = u 。

因此，由 (30) 式可以得出，此时由 (14) 式，也可以分别取得 (15) (16) 式。


      【注】如果在此之前，有相同证明者，请函告 xujunjie228@163.com，

以便进行联系！谢谢！                                         ------ 2018年6月15日



                                 

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   把《费尔马当年的巧妙证明》一文作者 徐俊杰 ( xujunjie228 )，在
2018-09-13 对该文所写的【说明】，转发如下。

【说明】由(9)式的通项式  C( n, i ) a^i = C( n - 1, i - 1) na k^( i - 1) ，

可得(10)式的  a^( i - 1) = i k^( i - 1)   ( i = 2，3，4，…，n - 1，n )

【情况介绍】------
该文作者是在 2018-11-21，把此【说明】发在他的 “网易博客” 中的，
即 xujunjie228.blog.163.com。
这里，又进行了一些修改。该博客现在已整体搬迁，详见其公告！


           

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1。"科学智慧火花编辑组" 对《费尔马当年的巧妙证明》一文回信全文，见本文第431 楼。

2。在 "中国博士网” ww(www).chinaphd.com 数学论坛《费尔马当年的巧妙证明》一文第 2 楼中，
     本文作者回复了 discover 网友提出的 “y 的值只与 a，k 有关” 等问题，指出可把本文(2)(5)式
     右端有两个未知数的多项式，转变为以 y 为未知数的一元多项式。

3。本文作者 2019-10-20 又对本文进行了修改。其修改稿全文，见 “中国博士网” 数学论坛中
    《费尔马当年的巧妙证明》一文的第 3 楼。

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