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根据勾股弦定理,√2它代表以1为边长的直角三角形的斜边长。它是有使用意义的理想事物,所以近代人,称这个无理数是实数的做法是应当的。至于无理数不能表示为十进小数的问题,可以使用近似与极限方法解决。事实上,对2进行开方的近似计算就可以得到:√2的准确到十分之一、百分之一、千分之一的不足近似值1.4,1.41,1.414,与过剩近似值1.5,1.42,1.415。从理论上讲,可以进一步得到与n=1,2,3,……对应的误差界1/10^n的不足近似值无穷数列1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,1.414213,1.4142135,1.41421356,……;与过剩近似值无穷数列:1.5,1.42,1.415,1.4143,……。这两个数列是满足条件:①pn是自然数;②(pn/10^n)^2<2;;((pn+1)/10^n)^2 >2的收敛数列{pn/10^n}或(pn+1)/10^n,根据数列极限理论,这两个数列的极限是无理数√2。前一个数列可以简写为1.4142……,又由于,这个数列是无穷数列,无穷是无有穷尽、无有终了的意思,所以可以称这样的表达式1.4142……为无尽小数。需要强调是:无尽小数1.4142……是永远写不到底的事物,它不是一个定数,他不能等于无理数√2。其它无理数与此类似。 |
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