[讨论]评张彧典的“反证法”证明

雷明85639720

评张彧典的“反证法”证明
雷  明
（二○一四年元月二十六日）
张彧典先生在回答“一棵小草”（刘福）的问题时，写了“反证法”的短文，用以说明他的八个H构形以外再没有别的H构形了。这个所谓的“反证法”“证明”，我认为是错误的。它说明不了在他这八个构形之外，就再也没有别的构形了。我在这里想完全按张先的“证明”方法和步骤，来说明在他的第七个构形以外也再没有别的构形了，同样也可以得到在他的第六个、第五个、第四个、第三个构形以外也再都没有别的构形了。当然也就只有前三个构形是正确的了。
张先生在“反证法”中说：
“当我们用色链组合理论和H换色程序确立了前8个最简构形后，会不会还有第9个可以用H换色程序求解的有解构形而不会只有HOLROYDMILLER的那种无解构形呢？这是许多“四色问题专家”向我们提出的疑问。我们说一定不会有。不妨我们假设它存在，那么它在图3—8的详解图之倒数第二个图中一定不是B—D环而是其相反色链A—C环才行，因为这样才能使得双B夹A型构形整整转化两个周期，而且其外部的A—C、A—D二环仍然呈现相交情形。这时，就必须使含有虚线所在的B—A—D—A四边形（红色）之两个对角A相邻（即连通同一个A—C环）从而使得Ｂ—Ｄ环断开，见图３－８’左图。”
　　接着又说：“如此一来，就使得图3—8的原图中含有Ａ１—Ｂ１—Ｃ—Ｄ四边形（红色）之两个对角Ｂ１、Ｄ相邻而不是Ａ１、Ｃ相邻了，见图３－８’右图，也就是所设第９个有解构形。由于这个构形中Ｂ１—Ｄ２链为最短色链，因此对其施行Ｈ换色程序四次就可以正确四染色，归于图３－３了。这说明所设第９个有解构形是不存在的”。
现在我完全信张先生的所谓“证明”证明如下：
如果认为在他的前七个构形外再没有别的构形了，那么按张的方法步骤则是：
不妨我们假设第8个构形存在，那么它在图3—7的详解图之倒数第二个图中一定不是B—C环而是其相反色链A—D环才行，而且其外部的D—A、D—B二环仍然呈现相交情形。这时，就必须使5—轮最上角顶点（C）上方的C—A—B—A四边形之两个对角A相邻,从而使得Ｂ—C环断开。
如此一来，就使得图3—7的原图中5—轮最上角顶点（A）上方的含有Ａ１—C2—B—Ｄ四边形之两个对角C2、D相邻而不是Ａ１、B相邻了，这就是所设第8个H构形。这个构形也施行Ｈ换色程序四次就可以正确四染色，也归于图３－３了。这说明所设第8个构形也是不存在的。
同样，如果认为在他的前四个构形外再没有别的构形了，那么按张的方法步骤则是：
不妨我们假设第5个构形存在，那么它在图3—4的详解图之倒数第二个图中一定不是B—D环而是其相反色链A—C环才行，而且其外部的A—D、A—C二环仍然呈现相交情形。这时，就必须使图中右侧的A—B—A—D四边形之两个对角A相邻,从而使得B—D环断开。
如此一来，就使得图3—4的原图中右侧含有D１—B2—C2—A2四边形之两个对角C2、D1相邻而不是Ａ2、B2相邻了，这也就是所设第5个构形。这个构形也可施行Ｈ换色程序四次就可以正确四染色，也归于图３－３了。这说明所设第5个构形也是不存在的。
用图3—5，图3—6的祥解图，也同样可得到经过四次H换色的正确染色，都归于图3—3了。
以上所说就不画图了，请“一棵小草”和张先生对照自已的书去画一画，看一看是不是都得到上面这样的结果。
请问，这能叫做证明吗。这完全是由于张先生认为的八次大循环造成的。在张先生眼里，这个“八”字是千万不能改动的，无论怎么也得凑够八个构形，然后再以BAB型循环满两个周期为由，采用了这么一个“证明”的方法，说明八个构形以外再没有别的构形了。而实际上用张先生的证明方法，可以说明既不存在构形八以外的构形，也不存在构形七以外的构形，以至在构形六以外，在构形五以外，在构形四以外，和构形三以外都不存在别的构形了。这里有构形三、构形四、构形五、构形六、构形七、构形八以外都再没有H—构形了的六种结果，道底那一种结果是正确的呢，谁也说不上来。至于为什么这些这些构形证明的结果都归于图3—3了呢，这是因为图3—4及其以后的构形都是在图3—3构形的基础上增加顶点，并改变其中各链的相互关系而得到的，都是属于我所说的“半H—构形”一类，都是可以有选择的先从右侧的B点开始交换B—C链，再从左侧的B点开始交换B—D链，同时移去两个同色B。它们都是属于同一个类型。
现在再用图3—3 按先生的证明方法进行一次，看是一个什么样的结果呢：
不妨我们假设图3—3以外的第4个构形存在，那么它在图3—3的详解图之倒数第二个图中一定不是B—C环而是其相反色链A—D环才行，而且其外部的D—A、D—B二环仍然呈现相交情形。这时，就必须使图中左侧的C—D—B—D四边形之两个对角D相邻,从而使得B—C环断开。
如此一来，就使得图3—3的原图中左侧含有C１—B1—D2—A2四边形之两个对角A2、B1相邻而不是C１、D2相邻了，这就是所设第4个构形。但该构形却不是一个H—构形，而是一个非H—构形，可以同时移去两个同色B，先从那个顶点开始交换都是没有什么关系的。该构形也不归于前三种构形的任何一种。
现在再用图3—2按先生的证明方法进行一次，也看是一个什么样的结果呢：
不妨我们假设图3—2以外的第3个构形存在，那么它在图3—2的详解图之倒数第二个图中一定不是A—C环而是其相反色链B—D环才行，而且其外部的B—D、B—C二环仍然呈现相交情形。这时，就必须使图中右侧的A—B—C—D四边形之两个对角B和D相邻,从而使得A—C环断开。
如此一来，就使得图3—2的原图中右侧含有D１—B2—C2—A2四边形之两个对角A2、B2相邻而不是C2、D1相邻了，这也就是所设第3个构形，该构形正好就是图3—3的第三构形。上面已说了，按张先生的过程对图3—3处理后得到的图是一个非H—构形，是同时可以移去两个同色的。然而图3—3 的第三个构形也可有选择的先从右B顶点开始交换B—C链，再从左B顶点交换B—D链，同时移去两个同色B。因为图3—3与其后的五个图都是属同一类图，着色方法当然也就相同了。
从以上的分析看，张先生对他的八个构形的证明完全是错误的。证明不了该八个构形以外再就没有别的构形存在了。既然八个构形以外再也没有别的构形了，那么为什么又在出现了米勒图后，张先生又把它作为第九个构形而增加了进去呢。不要因为你“没有找到”需要换色八次以上的图，就说明再没有需要八次以上换色的图了，米勒图不是一个你们认为用无限次“逆时针赫渥特颠倒”也不能空出颜色来的图吗，怎么能说就再也没有大于八次以上换色的图了呢。至于米勒图的可4—着色，那是用了非“逆时针赫渥特颠倒”方法而着上的，而不是用“逆时针赫渥特颠倒”方法着上的。你要知道你现在是在证明为什么任意平面图都是4—可着色的，而不是在对某个平面图进行4—着色。这样你就不会再去费那么大的对气力再去找多少个构形了，也是找不完的。图论中早就证明了平面图的不可避免集是：“任何平面图中至少都含有一个度小于等于5的顶点”。有了这个对于证明四色猜测来说就已经够用了。且在证明时不要用具体的图，而要用既能代表一般、但又不是具体图的图，这就是我对四色猜测证明的观点。
张先生在证明中的有些话都是与证明无关的，或是莫楞两可的。如“因为这样才能使得双B夹A型构形整整转化两个周期，而且”和“ 由于这个构形中Ｂ１—Ｄ２链为最短色链，因此”等，这都是多余的话，完全可以不要。
雷  明
二○一四年元月二十六日于长安