[讨论]与一棵小草的计论《探秘》一书

雷明85639720

与一棵小草的讨论《探秘》
雷  明
（二○一三年十二月三十日）
    这是我对朋友一棵小草的《张彧典〈四色问题探秘〉读后》一文的评论。
12,30
朋友，你在对张的图5.8互换连通的A—C色链后，得到的一个书上没有的BCB构形。你说“在该构形中，C—D无链，得解（类似方法还有）。”这是错的，该构形中的C—D链是连通的，还有一条连通的C—A链，两链有两个交叉顶点着C。与图5.8，图5.4是同一个样的图。图5.4与图5.8都可以交换任一条C—D以破坏A—C、A—D两链的交叉性而成为一个非H形的图，然后同时移去两个同色B；你所得到的构形则可以交换A—D以破坏C—D、C—A两链的交叉性，也可变为一个非H图，然后也同时移去两个同色B。你可以画图试一试。连通链是不能交换的，交换后是不能空出颜色的，交换了也是没有用的。另外你说的“C—D无链”这话也很不确切。雷明
12,31,一棵小草回复：
    雷明：您指出的很对。谢谢！顺便说一下，您该段的第4行应为A—D。您的方法已经达到娴熟的地步啦！到一段时间，得明年了，我将给出另一换色法；在H换色程序范围内解决H•M构形可约化证明。
12,31
朋友，看来得要对H程序有一个统一的认识了。什么是张所说的H程序，我认为就是在两同色夹一色中，从一色起，按逆时针转，从所先遇到的那一个同色顶点开始对其所着颜色与其对角顶点所着颜色构成的色链进行交换，若交换后的图仍是H图构形时，则继续进行这样的过程，直到成为非H图构形为止。但这一交换程序的实持仍是在进行坎泊链的颜色交换技术。
你说“书作者张先生确用Ｚ解法给出了Ｈ—Ｍ图可约性的证明，该证明明显不是Ｈ换色程序，是属于肯普链法（见书45页）！这已经用事实反驳了来自伦敦《范例》一文的结论。”这里也说了“Z解法”“显然不是H换色程序”，“是属于坎泊链法”。所以我认为这三种方法都是坎泊的颜色交换技术，即对一条链中各顶点的颜色进行了交换，只是各人所用的地方不同罢了。
坎泊是用在对角链的交换，对链中是什么颜色并无要求；而米勒和张所说的H交换则也是对对角链的交换，但有一个条件，交换的链必须是含有两个同色中的颜色，且交换是逆时针转的；张的Z交换只是对5—轮轮沿顶点的交换；我所用的坎泊的颜色交换技术中，除了以上三种都用了外，还有一种是交换的目的是企图破坏相交叉的连通链的连通性和交叉性的“断链法”。破坏两链交叉性可以从两交叉链的交叉点进行的交换，破坏连通链的连通性可以从所要破坏的链中的任何顶点行交换，最后都可以达到破坏两链连通和交叉的目的（张的Z换色程序实际上就是在破坏两连通且交叉的链）。坎泊在用交换时，每交换一次都空出了一种颜色，而后来的其它几种交换都没有直接空出颜色，而是把图变成了一个非H图构形的图，然后再进行别的交换才能空出颜色来。
米勒在对图5.4进行B1—D链的交换（逆时针赫渥特颠倒）实际上也是在进行“断链”，使连通的A—D链变为不连通，使图成为一个非H图构形的图5.5，可同时移去两个D。这也是图5.4的米勒图的一种着色方法。图5.5中虽也有两条交叉的连通链，但其交叉点比图5.4多了一个，别看这一小小的差异，它却使图变成了不同的两种类型。两条链第一次交叉是链的起点，第二次交叉才是真正的交叉，第三次交叉又相当于抵消掉了第二次交叉所产生的作用。这就是我认为图5.5是非H图构形的原因，实际上对其采用非H图构形的着色方法是可以同时移去两个同色的。
对于张的图5.4，还可以交换B2—C，使A—D链断开，也可以使图变成一个类图5.5的非H图构形（只是左右打了一个颠倒），然后可同时移去两个C。图5.5还可以分别交换D1—B和C1—B，分别使A—D和A—C链也断开，也可使图变成一个非H图构形的图。这时，虽然图中仍有两条相交的且是有两个相交顶点的连通链，但除两链起始顶点相交外的另一个相交顶点，已没有真正意义上的相交叉，只是相交罢了，所以这时的图也是一个非H图构形的图。
这里要特别说明一下，过去我们都把两链只要有共同的顶点都叫做相交叉的链，只要是两链共用的顶点都叫做交叉顶点，这有点不太合适。这样的链正确应叫做相交链，其共用的顶点应叫相交顶点。而相交顶点中又可分为一般相交顶点和交叉顶点。相交顶点是可以用两个顶点代替的，而交叉顶点则不可以这样做。有奇数个交叉顶点的构形就是H构形，有偶数个交叉顶点的又是非H构形，没有交叉顶点只有相交顶点的图一定是非H构形。
书中20页的图5.4和图5.6实际上都是H图构形的图，都必须通过坎泊的颜色交换技术（并不空出颜色来）把图变成非H图构形的图，才能4—着色；而图5.5和图5.7实际上就是非H图构形的图，是可以同时移去两个同色的。
雷  明  2013,12,31
12,31
    一棵小草回复我：“雷明：对图5.4内有C—D环，交换2 色后，该图可转化为K构形，楞同时移去两个B。”我答：我说了，图5.4中有两条C—D链，其中一条是环链，在图的中部，另一条就是C1—D1，这两条链只要交换了任一条，图都会变成一个非H图构形（张交换的是C1—D1）。对图中部的C—D环链进行交换也是可以的，也能使图变成一个非H图构形，可同时移去两个B。雷明。
12,31
一棵小草：
你在文中说：“众所周知，按常规肯普法只对不连通链换色，而C—D确为连通的。”我想这里说的一定是米勒图中的C—D链，因为这里主要是在说张先生的Z—解法，正好张对米勒图的解决办法就是交换了C—D链。一棵小草又说：“C—D虽连通，但不违背5邻点4着色的大原则。明显是发展了的肯普法！”，这里说的C—D连通是指什么呢，很不明确。我们以前所说的连通主要指一条链从5—轮（或5—圈）的一个顶点直通到其对角顶点，这叫连通链。显然在米勒图中C—D不是这种连通链。在米勒图中，C—D链是被环形的A—B链隔成了环内环外不连通的两部分，交换其中之一部分，都可使米勒图变成非H图构形的图。张先生是交换了C1—D1的，我想一棵小草这里所说的C—D链应时指C1—D1的，但这不能叫做连通链，它也不是以前我们所说的那种连通链；而整个的C—D链上看，也是不连通的。所以我认为一棵小草这里是说错了。张先生对一棵小草所提出的问题的回答也是针对该链被环形的A—B链隔成了不连通的两部分而说的。另外，也不清楚你说的“C—D虽连通，但不违背5邻点4着色的大原则。明显是发展了的肯普法！”是什么意思。
因此，我认为现在对于连通链就有两种情况，一种是以前我们认识的，5—轮（或5—圈）的对角顶点的色链是连通的，还是不连通的；另一种是对某一链来说，从整体上说是连通的，还是不连通。对这两种情况来说，都是在不连通时才是可以进行交换的，前一种不连通链交换的结果是可以空出颜色来，后一种不连通链交换的结果是改变了图的构形（如由H图构形变为非H图构形）。     雷明  2013,12,31
12,31
朋友：
你在文中说：“九构形绞尽几十年的心血，涵盖百余年来所有H构形。”后边又说：“最后谈对九构形完备性的反证法证明（在路上）这是本书最有看点的部分。”我认为，平面图的不可免构形就只有从0—轮到5—轮的六种轮构形，张的所谓九构形都是属于5—轮构形。九构形本来只有八种，但后来张先生也用H换色程序不能给米勒图着色时，他才用仍是属于坎泊的颜色交换技术的Z—交换方法，将米勒图着上了四种颜色。这就成了九构形。这个米勒图与他前面的八个构形可完全是没有任何联系的，形状也相差甚远。怎么能归入一起呢。如果以后又有什么人再构造出一个什么图来，用H换色程序和Z换色程序都不能给其着色时，是不是还要又增加一个构形，成为十大构形呢。有完没完呢。
这九个构形是不是就是“涵盖百余年来所有H构形”，一直没有看到其进行证明，而你却说：“最后谈对九构形完备性的反证法证明（在路上）这是本书最有看点的部分。”在那里呢，我翻了好几次书也没有看到。请你给介绍一下。另外括号中的“在路上”又是什么意思呢。我只从《探秘》书中的第23 页中看到：“我们已经构造出一个难点转化七次的可约H构形，……，后来，我们把它最简化并归纳为可约H构形不可免集中的第八个构形。”“接着我们继续构造一些复杂构形，试图寻找难点转化次数大于7的可约H构形，但至今没有找到。后来为找这个难点转化次数的上限值及理论依据，又耗去了五年时间，没有结果。”
我要问，所谓的“难点转化次数大于7的可约H构形”到底是“没有找到”呢，还是就再也没有了，这不能令人满意。“难点转化次数的上限值及理论依据”到底是有还是没有呢，“没有结果”是什么意思呢。这也不能令人满意。
张先生对米勒图不能用H换色程序进行着色，却用了Z换色程序着上了色，并把其列为第九个构形，到底是必然呢，还是“真是歪打正着！”（《探秘》书中语）呢。从书中的“H•M构形终于有了归宿”看，米勒图归入前面的八个构形而构成九大构形是很免强的。张先生的执着，花了不少心血，构造了这么多的图，并着了色，精神可隹。但我并不认为这就是平面图的不可免集，或者说是H构形的不可免集。
张的九构形中，一，二，九构形都有自已独特的着色方法；而三到八构形，实际上都可以先从B2开始交换B—C链，再从B1开始交换B—D链，而同时移去两个B。这多么简单呢，不知为什么张先生非要进行了那么多次的“逆时针赫渥特颠倒”呢。五个构形，解法相同，为什么不归为一种构形而要列为五种构形呢。
雷明，12,31
12，31，一棵小草回复：
雷明：您很认真地看了我给張彧典《四色问题探秘》的评读，谢谢您。看还有没有错误。我的原意是：给他使用的文献【8】用H程序证明是可约的。我的草稿上还有一种方法，年后再改过来，或者再停留一段时间。
2014,元,1
朋友，你文中指出看你的《对试证的补充》一文，我很好的看了。你在里面提到了交换时的“选择性”的顺题，且是从张先生那里学来的，我这里也就“先择性”的问题谈一点看法。
用四种颜色着色的图中，共有六种色链，交换那一种本身就都是一个带有先择性的问题。另外，从交换的目的看，如果交换的目的是为了改变图的构形（或者叫把某链断开的断链），交换的链必须是从图的总体上看，是一条不连通的链，因为交换了总体是连通的链后是不能改变图的构形的，这里就有一个选择的问题。如果交换的目的是为了空出一种颜色，交换的链就必须是5—轮对角顶点的颜色所构成的链，但也必须是不连通的，这里也有一个选择性的问题；如果交换的目的是想同时移去两个同色，那么先从那一个同色开始交换，也存在一个选择的问题。我从你的文章中的“选择性是预先不知道的，必须经过实践去看一看，哪种（逆时针、顺时针）合适（简捷）；也有定不下来的（希伍德反例），只好任选！这就是说，肯普方法的选择性是客观存在的事实。”这段话看，你在这里说的选择性交换是指目的是想同时移去两个同色的那一种交换。
但这种选择张先生是根本没有做到的。他的3到8的六个构形都可以先从B2开始交换B—C链，再从B1开始交换B—D链，就可以达到同时移去两个B的目的，可他却硬要坚持“逆时针赫渥特颠倒”，结果使得交换的次数大大的增加，这是一种少慢差费的工作。
雷明，2014,元,1
元，2，一棵小草回复：
1、雷明：您看得很细，也分析得很细。您说的也没毛病。按理说，我不该插话。不过咱们得从张彧典的目的去想一想：他要构造H不可避免集，且要打造人工证明。这后面的证明怎么解决？我的理解他不是要读者去解决。
2、他是在设计不可避免集的同时就考虑到了----用H程序办法（即用H程序设计，又用H 程序解）；他认为这样，慢是慢一点，但比没有人工证明（用机器）要好多了！他的用意是排斥机器的（书上有类似的话）。这是我要说的第一层意思。
3、另一层，他会不会简化繁杂的方法呢？看他的《四色猜想图表解》一文，他对肯普方法的掌握情况再去判断。至于他的目的能不能达到，那就得找出他的弊端。我看完他的书，我学不会他是怎么构造的？如果我学会了，就给他构造一个换8次色，到第10个图是可解的H图。这是最好的说服他的办法！您想想有什么办法？
元，2
首先我声明我对所谓用计算机证明了猜测的说法是持否定态度的。现在回答你的回复：
1、张先生不回复或回答我所提出的任何问题，我只好就你的文章与你一起讨论，从讨论中我发现对我来说也是在不断的提高，比如我在给你的评论中所说的有关“相交”，“交叉”，“连通性”，“选择性”等概念，这在我们以前的文章中却没有现在这样的清楚；
2、我对你文的评论，你出来说话是应该的，我们共同讨论张的书，对大家都是会有所提高的；
3、你说张的目的是要打造H构形的不可免集，打造人工证明。那么他首先应该证明这个集是有限集还是无限集，如果是有限集，还有找的必要，如果是无限集，那还有必要再找吗，能找完吗；
4、你说“他要构造H不可避免集，且要打造人工证明。这后面的证明怎么解决？我的理解他不是要读者去解决。”可张的最后结论却是他已证明了只有九个H构形，他已证明了四色猜测是正确的。可就是在书中看不到他是如何证明的。他也并不是只提出问题。如果他只提出问题，让读者去虑也不是不可以，但他没有这样做；
5、你说“我看完他的书，我学不会他是怎么构造的？如果我学会了，就给他构造一个换8次色，到第10个图是可解的H图。这是最好的说服他的办法！您想想有什么办法？”我也不知他的九构形后面除了米勒图以外的五个构形是怎么构造出来的。为什么要那么做，他并没有说。这是我早就对他提出的问题了，可他一直就是不回答。当然了，要找出了第十个图那就好了。可不能因为别人一下子还没有找到就说明只有这九种呀。即就是想找也不能乱找，也要按张的思路去找，可他找的那8个图的思路也看不明白是什么，怎么去找呢。
6、算了，我看还是以他书中的毛病中，来找自已理论中的不足之处好了。实际上，我在研究他的书中的毛病的过程中，也是在不断的对自已的理认论进行着修改的过程。他那悬赏的二十万元我想是没有人去想尝试的。
雷明，2014，元，2
元，2，一棵小草回复：
雷明朋友：１，我在新浪发文，张未必知道。２，我要构造的那个图，就是根据它的规律预测的（您可试着去研究，发现）但我做不到，只能怪我学不会！３，从他的文章找毛病也可以，他的根据就是那个反证法。４，给他写评读前，我又看了他的其他文章，以了解其思路。咱们都是从学习出发，目的是一致的！５，我文中错误已修改。
元，2
朋友，你这次对图5.6的变动是对的，最后成了一个无A—D和A—B连通链的情况的图。虽有C—D和C—B链的连通与相交叉，但图不能构成H—构形的图。不过你对图5.6开始从左上角的A—D链的交换，这又不是所谓的H—换色程序（逆时针赫渥特颠倒），要进行真正的逆时针赫渥特颠倒（H—换色程序）就必须从最上边的A1开始，进行A—C链的交换，结果就是图5.7。实际上，图5.6是一个与图5.4相同的H—构形，交换其中互不连通的任一条C—D链，都可使图变成一个非H—构形的图，可同时移去两个同色A。你从图5.6交换后得到的图（书上没有）实际上也是一个非H—图，C—D链和C—B链有一个“相交点”，但有两个“交叉点”，两个“交叉点”的作用相互抵消，仍是没有相交叉链的图，所以该图也是可以同时移去个同色A的。另外从你对图5.6交换后所得的图中还可以看出，其中的A—C链是不连通的，它被环形的B—D链隔成了环内环外两部分，所以还可以交换互不连通的任一条A—C链，使图变成一个非H—构形的图，同时移去两个同色A或C。你交换了“3点A—C二色”所得的图是CAC型，可以同时移去两个C。
你能给我说说张构造那些构形的规律上什么吗。你想构造的图是个什么样的呢，都可以交换意见。
雷  明    二○一四年元月二日于长安

雷  明
二○一三年十二月三十日至二○一四年元月五日于长安