[讨论]答卢玉成先生

雷明85639720

雷明85639720

                           答卢玉成先生
                              雷  明
                     （二○○八年六月十一日）
卢玉成先生：
    看了你的用几何方法证明四色猜测的论文《四色定理的简便证法》后，感到你的思想方法很新颖，但文章还存在一定的问题，愿意提出来与你共同商讨。
    1、你说了“如果n个不同地区共有一处公共边界线段或一点，也就是说，在一处公共边界线段或一点上，有n个不同的地区公用（比如公海海岸线——这一注释是不符合你的原意的，每条海岸线都只属于一个国家，而不属于所有的沿海国家所共有，不能这样进行注释。雷明注），这等价于有n个不同的圆相交于一条线段或相切于一点，如图（一）所示，那么这张地图需要n种颜色才能区别开”。这里你在作图时只作了多个圆相切的情况，而没有作多个圆相交的情况。要知道圆与圆的“相切”与“相交”是两个不同的概念，圆与圆相切只能产生一个交点，而圆与圆相交则不仅只是产生两个交点，而且还产生一条公共的弦（弦是一条线段，其上有无穷的点）（如图1），所以你不能说“由于两圆相交和两圆相切都是说明有公共边界线，显然，我们把两圆相交和两圆相切可以看作一种情形，为讨论方便，下面我们（只）来研究两圆相切的情形”。这一说法是错误的。(图帖不上去)
    2、对于圆与圆相切的情况，你说“这张地图需要n种颜色才能区别开”，这种说法是不对的。因为猜测说的是把有公共边界“线”的区划用不同的颜色区分开来，而对于只有“一点”作为共同边界的区划是允许着同一颜色的。你的图（一）共有8个圆，连同最外面画图的平面（纸），共是九个区划，所以给这个图的区划（面）的着色数是3。由于对图的面上的着色就是对其对偶图的顶点着色，若对你的图（一）作出对偶图时就是一个圈，该圈若是偶圈（奇数个圆）时，两种颜色就够了，若是奇圈（偶数个圆）时，最多三种颜色也就够用了。你说的得用n种颜色是错误的。
    3、对于圆与圆相交的情况，你没有研究，只是用了“不存在有两个或两个以上的地区共有一条公共边界线段或一点，这等价于不存在过一个切点或一条线段有三个圆及更多的圆相切或相交……”这样的一句话就带过去了，这是不能说明问题的。我上面画的图1，是一种多个圆相交的情况，相当于你所说的多个区划有一条公共边界线段或两两区划均相邻的情况。对图1作对偶图时，必是一个Kn图，其顶点着色的色数才是n。这样的n个区划才是需要n种颜色来进行区别的。

    4、你说：“如果每两个地区有且只有一条公共边界线（这也符合实际情况——这只能说是符合地图的实际情况，它只是图的一个特例。雷明注），不存在有两个或两个以上的地区共有一条公共边界线段或一点，这等价于不存在过一个切点或一条线段有三个圆及更多的圆相切或相交，也就是说，每两个圆相切有且仅有一个切点，每两个圆相交有且仅有一条线段，此时，该地图里的不同地区只需要使用4种颜色就能区别开。”这里你所说的情况只能是地图这一类特殊的图，而不是所有的图都是这样。因为地图只是一种所有面都是3—圈的3—正则的特殊的图。你在本段最后一句“此时，该地图里的不同地区只需要使用4种颜色就能区别开”，莫名奇妙的下了一个结论，也不知你证明了没有。
    5、你说，“实验证明，当3个圆两两相切时，只存在第4个圆与前3个圆两两外切或内切的位置关系，如图（二）、（三），不存在第5个圆与前4个圆同时两两相切的情况。这是因为，由于圆周的大小与着色无关，可以假设所有的不同地区所代表的圆是等圆，这样等边三角形o1o2o3的中心只有一个，即相切于中间的小圆的圆心；又因为过不在同一条直线上的三点（此时为切点）只有一个圆，因此，在平面上只有四个圆存在两两相切的情形，所以，在一个平面上，所有不同地区只使用四种颜色就可以加以区别开来，四色定理成立。证毕。”这一段文字，说得概念非常混乱，在这里的圆是你在上面说的一个区划的边界线的拓朴变形的圆呢，还是就是平面上的真正的圆呢，并没有交待清楚；另外你用三个相等的圆互相相切，这三个圆可再公共外切一个小圆（你的图（二））和三个圆同时还可内切一个大圆（你的图（三）），用该大圆与小圆只能是相离或内含，不可能再相交的关系，来说明地图中不存在5个（包括5个）以上区划两两均相邻的情况，是不合适的。这不能说明地图中根本不存在5个以上区划两两均相邻这一情况的。也不能通过平面上圆与圆的相互关系，来证明四色猜测就是正确的，也不是你所说的“在一个平面上，所有不同地区只使用四种颜色就可以加以区别开来，四色定理成立。证毕。”
    6、你后面的地图的着色，一般人都有可能只用四种颜色着上的，不能简单的因为一个地图中有4个区划两两均相邻，而没有5个区划两两均相邻的这一情况（这一情况在地图中根本就不存在），就说明这张地图的色数就不会大于4。你所着色的地图都只是用了四种颜色，这只能是对四色猜测的一个验证，而不能是证明。
    7、你的论文中所用的图或地图，都是个别的、具体的，而不是任意的，所以这还不能算作证明。因为猜测的原意是：把一个平面任意分成若干个部分，给每个部分着以不同的颜色，使得有公共边界线的两个部分不着同一颜色，大概四种颜色就够用了，而不需要更多的颜色（这里的部分就是本文中所说的区划）。这里说的，四种颜色就够用了，并不排除有些图或地图着色时的色数是少于四种的情况。

                                           雷  明
                               二○○八年六月十一日于金堆城

卢玉成

诸位先生：你们好！
    很久没有与大家交流了，有价值的文章我也没有收集起来，一直等待看到有个用代数的方法来证明四色定理，还是没有。用代数的方法来证明四色定理其实很简单，即将上传。
           卢玉成