[原创]用二进制数解读3N+1猜想(基础篇)

塞上平常心

[这个贴子最后由塞上平常心在 2010/03/17 07:37pm 第 2 次编辑]

    一个人读书虽然有趣，但往往会感到寂寞，特别是阅读纯数学的书时。我一直渴望向有关专家学者以及其他数学爱好者请教，当有一点体会时更希望讨论交流，以得到批评指正。
    井底之蛙，目光必然短浅，改变此状况必须走出在的小圈子，鼓起勇气，向有关的专家学者请教。华罗庚先生说过，弄斧要到班门。然而为卖弄而来，难免徒遗笑耳，为学习而来，方有收获。
    邬家邦先生说:“3N+1猜想之所以难以攻克，原因就在于对一般的n∈N，n的迭代轨迹序列T(n) = {C0(n), C1(n), C2(n), ……}中的元素排列杂乱无章，无规律可循”（《3N+1猜想》132页）。世界上万事万物均遵循一定的规律运动、变化，之所以感到该猜想的迭代序列无规律可循，可能是我们看问题的角度有偏差。
    二进制数是形式最简单，结构最稳定的数字。简单淳朴之中往往能显露出客观事物的本来面貌。如果用二进制数研究该猜想，许多规律性的东西就可能逐步呈现在人们面前。我计划分阶段将我阅读《3N+1猜想》的收获、体会写出来，欢迎各位专家和朋友指正。我相信，通过讨论，将使我对该猜想有更深刻的认识；我将努力探索，让参与讨论者有所收获。
    本文基本结构如下，计划分三阶段发表。我将在讨论中更加努力地学习，并修正文章的错误或不完善、不严密的地方，故实际发表时可能有所调整、变化。
    基础篇：
    ㈠二进制数情怀
    ㈡二进制数的有关简单特点
    ㈢e(n)值的确定
    ㈣迭代序列与Collats树
    对照分析篇：
    ㈤奇偶矢量
    ㈥改进型压缩迭代与同高连续数对
    ㈦L—tuple
    证明篇：
    ㈧再探Collats树
    ㈨3N+1猜想的数学模型
    ㈩结论

塞上平常心

之一：二进制数情怀

塞上平常心

之二:二进制数的有关简单特点

塞上平常心

[这个贴子最后由塞上平常心在 2010/03/16 09:21am 第 1 次编辑]

之三：e(n)值的确定

塞上平常心

    好多天了，一直没看到期待中的批评意见，这可能是我的文章有点问题。或许我应当先谈谈我为什么要用二进制数解读3N+1猜想。
首要的原因就是直观明了。尽管不同进位制数字的本质都是相同的，但外观形式的不同，有时有饿很重要。由于3N+1猜想涉及到运算基本上与2和3有关，才用二进制数的优越性就更明显。这在3N+1猜想的一些主要定理上都可以得到证明。如：
    定理3.1（见《3N+1猜想》25页）说，当n≥12时，数对
        n   = 2i+3×m +2i+2+(-1)i×2i+1-2
        n +1 = 2i+3×m +2i+2+(-1)i×2i+1-1
    是同高连续数对。
    如果将上式直接写成二进制数，可分为两类:
    当i为偶数时：
         n   = ……1011……10
         n+1 = ……1011……11
    当i为奇数时：
         n   = ……0011……10
         n+1 = ……0011……11
         (式中，n的尾部有i个连续的1，而n+1尾部有i+1个连续的1)
    46和47，62和63是否是此类同高连续数对，一时难以回答，因为需要计算。而写成二进制数后，101110（46）和101111（47）、111110（62）和111111（63），不经过计算，也不借助奇偶矢量，对照上面的二进制数对标准就很容易判断出前一对不是同高连续数对，后一对是。

LLZ2008

    看您解读（3n+1）问题的实质！

塞上平常心

    我期待讨论，期待批评指导！
    我仅仅是一个爱好数学的普通人，因此我探索3N+1猜想的目的也只能是检验、实践我所学的一点数学知识和解决问题的能力，并期望通过与各位朋友的讨论使自己有所提高。但我是认真的。既然要与他人讨论，自己就要有比较充分的准备，要拿出一点可供讨论的东西。我的《用二进制数解读3N+1猜想》有什么值得大家讨论的呢？
    ⒈3N+1猜想的运算基本上是涉及到2与3的运算，比较适合用二进制数。到目前为止，我没有发现有别人在用这种方法研究该猜想（仅仅是我不知道而已，并不能说肯定没有），这有没有可能成为研究该猜想的新途径呢。
    ⒉直观、明确是用二进制数研究该猜想的特点。这里仅用邬家邦先生《3N+1猜想》一书中的几个印刷排版错误来说明这个问题。
    该书85页，“少数n的ta值较大，如，……ta（27）=96，……ta（1027341）=347，等等”，其中，ta（1027341）=347是错的。因为，在同一页上，就介绍过：“当n ≡1（mod22）时，ta（n）=3。如果我们将1027341写成二进制数11111010110100001101，可以更明显地看出问题。
    如果说，上面的例子中，十进制与二进制数区别并不明显的话，那么下面的例子，区别就比较大了。
    该书36页表4.1中列出起始数为386的6-tuple的高h为6，m为2。这是错误的。这样的错误在十进制数环境下较难判断，用二进制数则较容易。因为，m为2的二进制数，只有两类：
    ①11，1101，110101，……
  （包括110……0，11010……0，……下一行同）
    ②1110001，11100011，1110001110001，……11100101，1110001101，……
从以上任何一类数中均不可能拿出6个连续数来，因而可以肯定这是印刷排版的错误（我验证的结果是：高h为77，m为43。顺便说一下，该表中下一行的h、m值也印错了。）
    ⒊我在学习中摸索到该猜想的一些规律，例举如下：
        ①将奇数m划分为两部分，前一部分为Gk，后一部分为尾数，这可分A、B两类，从而仅根据这些奇数的结构，就能写出其部分轨迹序列的通项公式。
        ②二进制数Collats树内的轨迹序列可分为若干小节，其首项≡0（mod11）,末项数字尾部为“101”（这是别人已经得出的结论）。每个小节内又可分为交替出现的A、B两类小段：
    A段—— 段内各项均为A类奇数，其尾数的1字符逐项减少一个。其第一项（基本小节的首项除外）≡1（m11），其余各项≡10（m11）。
    B段——段内各项均为B类奇数，其尾数中0字符段逐项减少二个“0”。其第一项（基本小节的首项除外）≡10（m11），其余各项≡1（m11）。
        ③二进制奇数的Collats树上不同基本小节的某些序列段极其相似，且在这些相似项之后聚结在同一项上，其相对应的各项基本上都是同高连续数对。我们称这些相似的序列段为姊妹段，并分为A、B两类。
        ④对于压缩迭代，C(n) = (11n + 1)/10e(n)。由于应用了二进制数，就能够依据n的字符结构预先确定e（n）的数值。)
        ……
    必须承认，由于本人的阅历、环境、知识等方面的局限，我所摸索到的东西有些很可能是错误的，其中正确的也可能是别人早已有了结论。但这都不妨碍我们讨论问题，明白了自己的是与非，本身就是进步。
    实践是最好的学习。学习着，讨论着，这就是普通数学爱好者的快乐！

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2010/03/22 10:18pm 第 1 次编辑]

    3n+1的实质是:
                 混沌生太极   ¤----- 一
                 太极生两仪   一 ---  二
                 两仪生四象   二 ---  _ _ _ _
                 四象生八卦  - - - -  - - - -
                                      - - - - [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在 时添加 -=-=-=-=-
即
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塞上平常心

实质很简单，但变化万千，容易令人迷失。走出迷途，还须艰难的论证。

申一言

      实质很简单,
      证明也不难,
      抓主生成元,
      一切在眼前!