数学爱好者们的常见错误

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2009/12/15 10:36am 第 2 次编辑]

“民科”一词有贬义，还是称之为数学爱好者。
一个典型的错误就是，求素数个数时使用类似下式：
π(x)=x*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*...*(1-1/p), p≤√x。
这个式子的主要问题不在于整除误差，而是它的应用基础。实际上它是将素数的出现当作一个个不相关的独立事件，将它们的概率相乘。但是，你怎么知道，怎么证明素数的出现是一个个不相关的独立事件？？
许多爱好者，典型的例如“胡桢”，总是抱怨“主流数学界”不承认用概率求素数个数的方法，是刻意打压云云。其实不是不能用概率，而是用概率必须有一定的前提。这个前提不满足，或者不证明满足，那就不能乱用。
事实上该式求出素数个数的误差，在某个x之后是不断扩大的，利用excel等简单工具就可以验证。为什么会出现这种情况呢？前人早已证明：
∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，p≤x。
取其主项，当x-->∞时，x*∏(1-1/p)，p≤√x-->x/1.7810ln√x=1.123x/lnx=1.123π(x)
一个好的公式，至少在x增大时，相对误差应不断缩小，而不是增大或不变。显然x*∏(1-1/p)不符合这一条。类似地，爱好者们用来求哥猜解数的含有(1-2/p)之类的连乘式子，同样缺乏应用的前提，同样会在某个x之后相对误差不断增大。
以上现象暗示，素数的出现并非一个个不相关的独立事件，而是存在某种相关性，只是这种相关性不能用简单的数学形式表示罢了。

dsmond

素数的出现并非一个个不相关的独立事件，而是存在某种相关性，只是这种相关性不能用简单的数学形式表示罢了。
-----------------------------------------------
我想最终的解决还是要回到最基本的..无论数学发展到什么高度,最终还是无法避免一个问题"素数与合数之的关系是怎样的?';

柳林

π(x)=x*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*...*(1-1/p), p≤√x。
这个公式太好了，误差比素数定理少，数值越大误差率越小。

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2009/12/15 01:40pm 第 1 次编辑]

下面引用由柳林在 2009/12/15 11:02am 发表的内容：
π(x)=x*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*...*(1-1/p), p≤√x。
这个公式太好了，误差比素数定理少，数值越大误差率越小。

你错了，这是因为你没有仔细验算过。
这个公式开始是负误差，然后大约在x=100万~1000万左右（或10万~100万左右，记不清了）误差为0，之后是正误差，并且逐渐扩大，最后趋于12.3%。从这点看它还不如x/lnx，更不如Li(x)。
找个10万以内的素数表，用excel自己算算就知道了。

柳林

下面引用由qingjiao在 2009/12/15 01:38pm 发表的内容：
你错了，这是因为你没有仔细验算过。
这个公式开始是负误差，然后大约在x=100万~1000万左右（或10万~100万左右，记不清了）误差为0，之后是正误差，并且逐渐扩大，最后趋于12.3%。从这点看它还不如x/lnx，更不如 ...

你的算法我知道，是6万左右误差为0。我的算法和你略有不同，在100万时，误差只有0.11%。

申一言

    哈哈！
         都错了！
         应该是无误差的数学函数结构式！

白新岭

楼主看来对连乘积表示的素数个数有独到的看法，也用过Excel软件实际验算过。
不过luyuanghong教授有一个帖子证明，连乘积的式子与n/LN(n）的式子计算出来的值基本一致，当n趋于无穷大时，比值极限为1.
还有熊一兵的歌猜中哈代-李特伍公式详解中也有讨论。
有时间，看一看。
连接：<http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=8360&start=96&#35;bottom
luyuanhong教授的帖子再给你连接。

白新岭

从qingjiao发的帖子中，《陆教授，是这样吗》，对luyuanhong教授是了解的。
<http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=1316&start=12&#35;bottom
在上一楼提供的链接中，大傻88888888给的结果也是1.并非楼主给的1.123..。
我对1不看好，不过楼主说连乘积表达的素数个数不如素数定理求出的素数个数接近实际值，我以为，连乘积的个数到某一个数后虽然大于实际素数个数，但它的接近程度比素数定理要强，实际上，也是慢慢的与素数个数在相对误差上变小，一个从左边趋近素数个数（素数定理），一个从右边趋近素数个数，它们的步调虽然相反，但就接近程度而言，即相对误差的绝对值而言，变化还是相同的，谁更能真实的表达素数个数呢？  在一个问题是，连乘积的式子无现成的模式可以计算，可以用，这是限制连乘积应用的关键，不认可，不一定是因为它比素数定理算的素数个数的精确度上。

白新岭

素数出现的个数对于每个素数而言都是独立的。有素数代数式可以证明。即自然数，不在做特殊要求时，即无强制性条件时，能整除某一素数的概率为1/Pi,不能整除一个素数的概率为1-1/Pi;这种几率不会因为去掉某类自然数而改变，例如在去掉含5的因子自然数后，能整除3的概率还是1/3，不能整除3的概率照样是2/3，前后没有改变。

qingjiao

下面引用由白新岭在 2009/12/15 04:43pm 发表的内容：
楼主看来对连乘积表示的素数个数有独到的看法，也用过Excel软件实际验算过。
不过luyuanghong教授有一个帖子证明，连乘积的式子与n/LN(n）的式子计算出来的值基本一致，当n趋于无穷大时，比值极限为1.
还有熊一　...

估计是你对陆教授的证明理解错了，或者是别的形式的连乘。
因为这是有名的Mertens定理之三，∏(1-1/p)-->e^(-γ)/lnx，p<=x，100多年前就已证明，不可能错的。我曾用100万以内的素数验算至x=10^12，结果和定理所指出非常一致。