[原创]我看孪生素数猜想

shuzimi

[这个贴子最后由shuzimi在 2010/11/10 00:06pm 第 2 次编辑]

一八四九年法国数学家 Alphonse de Polignac 提出猜想：对于任何偶数 k, 存在无穷多组以 k 为间隔的素数对。这种素数对，人们通常称为 k 生素数对。自这个猜想提出以来，人们一直在试图对它们进行证明，但迄今也没有实现这个目标，甚至实现目标的合适的方法也没有找到。就连最简单的 k=2，也就是孪生素数的情况也是如此。
长期以来人们猜测孪生素数对也有无穷多组，这是一个集令人惊异的简单表述和令人惊异的复杂证明于一身的猜测，因此也成为 Goldbach 猜想齐名的著名猜想。
到目前为止最好的结果是上世纪七十年代我国数学家陈景润的证明：存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 要么是素数，要么是两个素数的乘积。
在我看来，数学上的世界性难题并不都是因为数学发展的不到位、数学理论滞后或数学思想不够先进而无法解决的。有些问题是由于人们对它们了解得不够深入、透彻，看不清它们的真实面目，对这类问题心里没有底，找不到进入的门，自然也就无从下手，或者只能用摸索、试探的方法，用渐进的方法进行尝试。这种摸索、试探、渐进的方法使得整个过程充满艰难、进展缓慢，因而认为很难解决。
其实这类问题中的有些问题说白了就是前面隔着一层糊窗纸，背后似乎神秘复杂、深不可测，捅破之后谁都可以看得很明白，复杂程度没有多深，并不是真的难以逾越，孪生素数猜想就是其中之一。
通俗地说，k 生素数就是相继素数差为 k 的素数，想研究它或者证明它，从相继素数差的视角出发是最直接也是最好的途径(当然，若是从视它为“一只会下金蛋的母鸡”，不断提出新颖的方法而使数学得到发展的角度来看，那又当别论，因为这种想法无助于从根本上解决 k 生素数问题)。
提到相继素数差，就不能不提到素数定理，借助素数定理，我们可以估算指定区间内的素数个数。由于这个猜想涉及的是无限区间，那么就不得不让极限的应用出场了。通过对区间[1,N]和区间[N+1,2N]中的素数数量进行比较，发现这两个区间的素数的数量很接近，而它们比值的极限恰好等于1。这就给了我们一个提示：这两个区间内相继素数差为 k 的素数个数的比值是否也遵循这个规律呢？
“相继素数差为 k”是针对所有相继素数差而言，k=2 或 k=4 只是其中的一两个特例，不顾一般情况而只注意特殊情况，一是孤立的看问题，证明起来更为困难，二是即使勉强得到一些中间成果，也不具有普遍意义或说明什么问题。而且将某个特例单独拿出来说事，把注意力只集中在局部，忽略考虑一般情况，这样的思维方式只会将人们引入歧途。
说到这里，问题已经很明了：只要求出这个比值的极限，只要证明这个极限值大于0，猜想不就得证了吗，事情就是这么简单，还需要多么深奥的理论和复杂的方法吗 ？
既然找到了这个解决问题的切入点，那解决这个猜想还不就如探囊取物？
糊窗纸被捅破之后，数学家们该怎么看这个问题 ？
证明原文见下面博客
http://jlfg1234.home.news.cn/blog/

shuzimi

    在做这个题目之前，我觉得有必要搞明白，我面对的是个什么样的问题，我是否确实了解它、能否真的将它说清楚？如果做不到这些，怎么知道我要做的是否可行？
前面的那篇是我做这个题目的心得，无论从对问题的理解、解决的思路，我想应该说得比较明白，希望有人对此有更深刻的认识，有更好、更简洁的方法。