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用拉普拉斯变换证明世界上最美的方程,这是很多人爱上数学的开始

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发表于 2024-6-11 10:59 | 显示全部楼层 |阅读模式
用拉普拉斯变换证明世界上最美的方程,这是很多人爱上数学的开始

原创 我才是老胡 老胡说科学 2024-05-20 17:32 上海



假设你正面临一个复杂且难以解决的问题,你有能力将这个问题重新表述为一个新的、较容易的问题。这样,你不仅可以解决这个简化后的问题,还可以将其解法转换回原来的复杂问题。这就是拉普拉斯变换的核心。

它实际上是一个捷径,在某些情况下将大学水平的问题转化为高中水平的问题。具体来说,它将微积分转化为代数,将一些非常困难的方程转化为不那么困难的方程。

不那么为人所知的是,拉普拉斯变换在纯数学中也非常有用。

我希望你从文章中记住一个重要观点,

在数学中,存在两个平行的领域,每次你对一个函数进行操作时,其实是在同时对两个不同的方面进行处理。

定义、例子和性质

拉普拉斯变换定义如下:

假设有一个变量 t 的函数 f ,那么拉普拉斯变换 L(f) 是另一个变量 s 的函数 F ,定义为:



这些变量名称的背后原因是,当以物理学的角度解释拉普拉斯变换时,我们会将一个信号表示为时间的函数,并将其转换为一个表示(复)频率的函数的信号。我们不会讨论这种对应关系的确切含义,但我可以告诉你,它与它的姐妹——傅里叶变换有关。

注意,F 不是 f 的反导函数。积分上限中的无穷大符号应被解释为取极限,即



假设极限存在。

让我们看一个例子。让我们选择最简单的函数之一:f(t) = t。

我们可以使用分部积分得到以下结果:



在此过程中,我们使用了洛必达法则,你只需注意,当 f(t) = t 时,F(s) = 1/s^x 。

同理,我们可以更简单地得出结论:当原函数 f(t)=1 时,其拉普拉斯变换 F(s) 等于 1/s 。

让我们看看在“平行”世界中,在时域内乘以一个指数是什么样子的。



因此,当在时间域中将一个函数乘以一个指数函数时,在拉普拉斯变换后的域中,这相当于移动(或平移)参数。这种结果虽然看起来简单,但实际上非常强大,并且在相关的文献中被反复使用。

一个重要的例子是指数函数的拉普拉斯变换。具体来说,有



拉普拉斯变换也可以应用于三角函数。例如,当我们对函数 f(t)=sin(t) 进行拉普拉斯变换时,我们需要通过分部积分的方法进行多次计算,并最终求解一个方程。经过这些计算之后,我们可以得到一个非常有用的结果:



拉普拉斯变换有一些非常有用且重要的性质。其中,最基本且最重要的性质之一是它是一个线性算子。线性算子的特性意味着拉普拉斯变换满足以下条件:



其中 F 和 G 分别是 f 和 g 的拉普拉斯变换。

另一个极其重要的性质是拉普拉斯变换是一对一的映射,这意味着它有唯一的逆变换。即,无论我们在一个世界中做什么,在另一个世界中都有平行的动作。

两个可积函数只有在它们在勒贝格测度为零的集合上有所不同的情况下,才具有相同的拉普拉斯变换,而且逆变换的精确公式需要复杂的积分理论(轮廓积分)。

通过拉普拉斯变换证明“世界上最美的方程”

以下被称为数学中最美的结果。这归功于莱昂哈德·欧拉,他向我们展示了指数函数与三角函数的关系:



通常我们证明欧拉公式的方法是通过展开指数函数的无限幂级数,并使用分配律的无限版本。这种方法虽然有效,但涉及到一些复杂的技术性论证。因此,为了简化,许多作者在讲解时会省略这些复杂的步骤。

你可能不知道的是,我们可以使用拉普拉斯变换来证明上述欧拉的结果。



现在我们可以在两边取逆拉普拉斯变换得到



其中我们使用了逆变换的线性性质。将上述公式看作为三角函数的余弦和正弦:



得证。

从微积分到代数再回到微积分

拉普拉斯变换最强大的性质之一是它将导数变为多项式。具体来说,有



即在 s 域中乘以 s 对应于时间空间中的微分。还有更高阶的类似公式。例如:



这些公式看起来简单,但它们有能力将微分方程转化为多项式方程,而多项式方程要容易得多。在某些情况下,它们甚至将偏微分方程转化为常微分方程。

例子

假设我们想要解微分方程:



初始条件为 f(0) = 0 和 f '(0) = 0 。让我们在两边取拉普拉斯变换



通过代入初始条件并提出 F(s) ,得到



让我们停下来,注意以下 2 个重要的点:

1. 复杂的方程变简单了:通过拉普拉斯变换,原本复杂的微分方程变成了一个简单的函数定义。这使得问题变得更容易处理。

2. 初始条件编码到解中:在 s 域中,初始条件被自然地包含在解中。因此,不需要额外的多个初始条件,因为它们已经被整合到一个方程里了。这意味着我们只需要处理一个简单的方程,而不是处理多个初始条件。

现在,只需在两边取逆拉普拉斯变换来找到 f 。在实践中,我们经常使用部分分式分解,但我们也可以使用一个公式。



虽然拉普拉斯变换在处理微分方程时非常有效,但这只是其应用的一个开始。拉普拉斯变换有许多其他富有成效的应用,但本文不会深入探讨这些内容。

更高级和奇特的用例

在 s 域中乘以 s 对应于微分,除以 s 对应于积分,结果证明是更一般对应关系的特殊例子。

卷积(Convolutions)

在 s 域中两个函数 F 和 G 的乘积定义了时间域中两个函数 f 和 g 的一种运算,称为卷积,记作 f * g 。根据维基百科:

卷积在概率论、统计学、声学、光谱学、信号处理和图像处理、地球物理学、工程学、物理学、计算机视觉和微分方程中都有应用。

正实数上的积分和狄利克雷积

拉普拉斯变换的一个非常有用的性质如下:



让我们尝试用这个公式来处理一个著名的困难积分,称为狄利克雷积分。这个问题要求计算以下积分:



这个例子在强大积分技术中就像“Hello, World” 一样,是一个简单但能展示其基本原理和功能的经典示例。。我们有:



利用 1/(x^2+1) 的反导数是 arctan(x) + c ,得到



拉普拉斯级数

我一直期待着与大家分享以下内容。 我们假设所有的一般级数和积分都收敛。

假设有一个周期为 P 的周期函数 f ,并且它的傅里叶级数为



那么我们可以通过线性性得到 f 的拉普拉斯变换的级数:



如果 P = 2π ,那么上述公式简化为



其中 a 和 b 分别是偶数和奇数的傅里叶系数。

我不知道这个公式是否有名称,因为我之前没有见过它,所以我称之为拉普拉斯级数。如果它已经有名称,请告诉我。

让我们尝试将其应用到一个例子中。在区间 [0, 2π] 内设 f(t) = t ,然后周期性延拓。该函数的图像如下:



这个函数的傅里叶级数如下:



我们知道,除了在不连续点(即 t ∈ 2πZ 处,它正好等于 π )之外,该函数与上面定义的锯齿函数相同。

在使用公式之前,我经历了手工计算 f 的拉普拉斯变换的痛苦过程。通过对积分的无限级数求和,得到



由于 f 的傅里叶级数仅在测度为 0 的集合上与 f 不同,我们知道上述公式正好等于 f 的拉普拉斯级数。即:



其本质是,即使傅里叶级数在 s 域中也有一个平行的级数。这意味着每个(相对良好行为的)周期函数在时间域中有一个傅里叶级数表示它,在复频域中有一个拉普拉斯级数表示它。

然而,我们需要稍微小心,因为拉普拉斯变换只变换正实数上的函数。它对负轴上的函数“一无所知”。

这个理论打开了解析数论领域的大门,在这个领域,像左边这个级数是非常重要的研究对象。

我才是老胡

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