抽象代数｜Galois 理论｜手把手教你求解三次／四次方程——见识一下五次方程的难缠吧

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抽象代数｜Galois 理论｜手把手教你求解三次/四次方程——见识一下五次方程的难缠吧

原创 Celeio Universal Cover 2024-05-04 21:00 湖北

   在番外的上篇我们已经实现了对域论主要内容的速览, 在这篇文章当中, 我们将会看到十六世纪前的算术家们是如何求解三次和四次方程, 以及在他们努力的基础上, Lagrange 是如何洞察到对称性的存在, 提出他的预解式理论的. 基于对称性对方程进行研究, 是由 Lagrange 开辟的新思路, 沿着这个思路, Ruffini 和 Abel 证明了一般的一元 n 次方程在 n≥5 的情况下不存在求根公式. Galois 则更进一步给出了存在求根公式的充要条件. 我们并不会讨论Ruffini 和 Abel 的工作, 因为他们工作的结果最终只是 Galois 工作的推论, 因此这一篇文章让我们把重点集中在前人的工作以及 Lagrange 的工作上来, 而将最后的重头戏, 留给 Galois 理论.

    值得注意的是, 虽然我们提到了 Galois 理论, 但是 Galois 理论和 Galois 当时论文中提出的理论是有区别的, 前者是在后者当年工作的基础上由大数学家 Artin 改写的, 即以域论的语言进行的表述. 在 Galois 自己的文章当中域这个概念并没有被明确提出来, 但是我们必须指出, 即便是这样, 被称为 Galois 基本定理的那个东西还是应该归属于他, 尽管他自己的表述和我们后面给出的表述差异还是比较大的. 另外, 无论是 Abel 还是 Galois , 他们均由于历史原因以及机缘巧合英年早逝且工作被埋在故纸堆中, 如果不是这样, 现代数学或许会更进一步.

2. 在考试当中我们是如何解方程的？



3. 三次与四次方程的求根公式





4. Lagrange 预解式



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