c是任意实数，\[ \left\{x : \sup f_n(x) > c \right\} \]是空集么？

wufaxian

以下题目出自《实变函数与泛函分析基础》 第4版 (程其襄 ) P8
\(\begin{aligned}&\text{例 8 若}\left\{f_{n}(x)\right|\text{是定义在 }E\text{ 上的一列函数},\text{则对任意 }c\in\mathbf{R},\\&(1) \left\{x:\sup f_{n}(x)\leqslant c\right\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{x:f_{n}(x)\leqslant c\right\};\\&(2) \left\{x:\sup f_{n}(x)>c\right\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{x:f_{n}(x)>c\right\}.\end{aligned}\)

以下是Chatgpt的证明。关于命题2的证明过程我有以下疑问：

“由上确界的定义，\(\sup f_n(x) > c\) 表示存在某个 \(n\)，使得 \(f_n(x) > c\)。”------------------为什么存在某个n？逻辑是什么？关于命题2 是否本身就存在矛盾？由于c具有任意性。所以\(\sup f_n(x) > c\) 就不成立吧？既如果函数列存在最小上界，那么这个最小上界就不可能大于任意c 。否则函数列就不存在最小上界！ 如果连最小上界都不存在的话，那么存在某个 \(n\)，使得 \(f_n(x) > c\)就是假命题。
    如果我上述理解没有问题。那么是否可以认为命题2等号左边的集合实际上是空集？ 因此等号右侧是集合的交还是集合的并就都无所谓了。因为空集的交和空集的并都是空集。对么？




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Chatgpt：
这两个命题可以通过逐步展开定义和集合运算来证明。下面我们详细证明每一个命题：

### 命题 (1) 证明
命题 (1) 是：
\[ \left\{x : \sup f_{n}(x) \leqslant c \right\} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \left\{ x : f_{n}(x) \leqslant c \right\} \]

**证明：**

首先记住 \(\sup f_n(x)\) 是在点 \(x\) 处函数序列 \(\{f_n(x)\}\) 的上确界。

1. **左边包含在右边：**
   - 假设 \(x \in \left\{x : \sup f_n(x) \leqslant c \right\}\)，即 \(\sup f_n(x) \leq c\)。
   - 由上确界的定义，\(\sup f_n(x) \leq c\) 表明对于所有 \(n\)，都有 \(f_n(x) \leq c\)。
   - 这意味着 \(x \in \left\{ x : f_n(x) \leq c \right\}\) 对于所有 \(n\) 成立，即 \(x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \left\{ x : f_n(x) \leqslant c \right\}\)。

2. **右边包含在左边：**
   - 假设 \(x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \left\{ x : f_n(x) \leqslant c \right\}\)，即对于所有 \(n\)，都有 \(f_n(x) \leq c\)。
   - 这表示点 \(x\) 处的函数序列的每个函数值都不超过 \(c\)。
   - 因此，\(\sup f_n(x) \leq c\)，即 \(x \in \left\{x : \sup f_n(x) \leqslant c \right\}\)。

综上所述，\(\left\{x : \sup f_n(x) \leqslant c \right\} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \left\{ x : f_n(x) \leqslant c \right\}\) 成立。

### 命题 (2) 证明
命题 (2) 是：
\[ \left\{x : \sup f_n(x) > c \right\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ x : f_n(x) > c \right\} \]

**证明：**

1. **左边包含在右边：**
   - 假设 \(x \in \left\{x : \sup f_n(x) > c \right\}\)，即 \(\sup f_n(x) > c\)。
   - 由上确界的定义，\(\sup f_n(x) > c\) 表示存在某个 \(n\)，使得 \(f_n(x) > c\)。
   - 这意味着 \(x \in \left\{ x : f_n(x) > c \right\}\) 对于某个 \(n\) 成立，即 \(x \in \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ x : f_n(x) > c \right\}\)。

2. **右边包含在左边：**
   - 假设 \(x \in \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ x : f_n(x) > c \right\}\)，即存在某个 \(n\)，使得 \(f_n(x) > c\)。
   - 这表示点 \(x\) 处的函数序列中至少有一个函数值大于 \(c\)。
   - 因此，\(\sup f_n(x) > c\)，即 \(x \in \left\{x : \sup f_n(x) > c \right\}\)。

综上所述，\(\left\{x : \sup f_n(x) > c \right\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ x : f_n(x) > c \right\}\) 成立。

这两个命题的证明使用了上确界和集合运算的基本性质，逻辑清晰严谨。