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求极限 lim(n→∞)[(2n)!/(n!n^n)]^(1/n)

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发表于 2024-5-19 17:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
1130002 請問數學

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 楼主| 发表于 2024-5-19 17:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 wintex 于 2024-5-19 18:08 编辑

想請問1f這題是否少了 對數符號,還是也是可以做,和這題2f差在那

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发表于 2024-5-19 20:08 | 显示全部楼层
斯特林公式

\[\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\frac{\log \left(\frac{(2 n)!}{n^n n!}\right)}{n}\]
\[=\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\frac{\log \left(\frac{\sqrt{2\pi *2n}(2 n/e)!^{2n}}{n^n \sqrt{2\pi *n}(n/e)!^{n}}\right)}{n}\]
\[=\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\frac{\log \left(\sqrt{2}*(4/e)^{n}\right)}{n}\]
\[=2ln2-1\]
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发表于 2024-5-19 23:36 | 显示全部楼层
楼上 Treenewbee 的解答已收藏。
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发表于 2024-5-20 20:43 | 显示全部楼层
\[e^{2ln2-1}=\frac 4 e\]
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