对学渣最友好的公式：凯利公式

luyuanhong

对学渣最友好的公式：凯利公式

来源：图灵编辑部

作者：图灵君

之所以说凯利公式是对学渣最友好的公式有两点原因：

第一：公式很简单，一看就懂，懂了就能用。

第二：让人保持「清醒」，这个「清醒」含义有很多。

有一个传奇人物，叫比尔·巴特。

为了低调的靠赌博赚钱，比尔·巴特放弃了香港赛马的 1 亿元头奖，此后依靠自己搭建的预测系统在博彩界收割「庄家」，全球业务累计赚取 10 亿美金，可谓是真正的「闷声发大财」。

在比尔·巴特的预测系统中，如果只有 MLR 模型是显然不够的，必须有一个安全机制来理性地阻止“贪婪的欲望”。

在 2004 年国际华人数学家大会上（ICCM）比尔非常慷慨地跟大家分享了他赌马的模型，其中提到了一个至关重要一点就是凯利公式。可以说，如果没有此公式，比尔就无法获得如此高的收益率。



凯利，是谁？

约翰·拉里·凯利（John larry  Kelly 1923-1965）1923 年出生于美国德克萨斯州，在第二次世界大战中加入美国海军当了一名飞行员。



退役后，进入得克萨斯州奥斯汀分校念物理学。1953 年获得物理学博士学位，毕业后去了号称诺奖批发部的贝尔实验室工作。

在贝尔实验室中，他认识了好友兼同事，著名信息论创始人的克劳德·香农。1956 年凯利受到香农信息论的启发，在内部期刊《贝尔技术系统期刊》中发表了一篇名为《对信息传输速率的新解释》的论文。

然而这并不是论文原来的标题，原标题更有意思，叫《信息论与赌博》。因为公司高层觉得这样的标题有损公司道德形象，才被迫他换了一个新名字。

但凯利的初衷确实是以一个棒球比赛的赌徒视角，去思考如何合理押注才能让资产得到最大指数的增长。虽然标题不严肃，但论文的证明过程却相当严谨。

后来，香农指导另一个数学大神应用凯利的研究，吊打拉斯维加斯的各个赌场。

这个数学大神就是爱德华·索普。

真正的赌神还得靠数学

爱德华·索普，一个数学怪才，作为加州大学洛杉矶分校的物理系研究生，却对轮盘游戏念念不忘。他一直认为根据小球的投入角度和运动轨迹可以预测小球的落点，所以他想设计一个基于变量计算的轮盘预测系统。



但现实条件却制止了他，由于手上的轮盘模型太简单，又恰巧马上要毕业了论文还没写完，于是对轮盘的研究就停止了。

毕业后，索普对轮盘念念不忘，于是动身去了拉斯维加斯。出发前，他在《美国统计学会会刊》上读到了一篇关于如何赢得 「21 点」游戏的论文。

此时，索普觉得 21 点这个看似比轮盘更有意思，自己也有必要尝试验证一下这个论文里的内容。于是，索普应用论文中的理论去了赌场，可结果输得很惨。

于是索普开始自己研究「21 点」游戏，不久也原创了自己的一套理论，基于此理论写了一篇论文叫《21 点的常胜策略》。为了顺利发表论文，他求助了香农，而香农不但同意帮助索普发表论文，还建议他把题目改成《21 点的有利策略》，他表示：「科学院的那些人都很传统，所以，要低调。」

但论文有个不完善的地方，因为只是思考「21 点」游戏本身的策略，却没有涉及到如何在游戏过程中如何下注的问题。这时巧合来了，香农告诉他之前有个叫约翰·凯利的同事早就研究完了。

两个数学大神的思想碰撞在了一起，一个研究怎么「赢得多」，一个研究怎么「输得少」。

于是索普利用凯利公式，对「21 点」游戏进行量化计算，通俗的解释就是：胜算大的适合多下注，胜算小的时候少下注。凭此理论，索普「血洗」拉斯维加斯各大赌场，又把所有制胜手法写入了《战胜庄家》这本书里，最终被赌场所封杀。之后索普不断完善理论，在金融市场做量化交易，这是后话，以后单独详解。



那么，凯利呢？很遗憾，也许是天妒英才，凯利突发脑溢血而亡，享年 41 岁，他至死也没能被大众熟知。

但凯利公式，却在未来慢慢的展现了威力，在 60 多年的发展中，凯利公式被投资界和博彩界奉为经典。

所以，想赚钱？先拜凯利吧。

那凯利到底怎么用呢？



先看公式，某度百科上写的比较详细，这里我用学渣都看得懂方式写一下：


      
f ：单次下注占本金的比例；

b ：除去本金外计算的赔率；

p ：胜率，这次下注获胜的几率；

q ：败率，这次下注失败的几率（p + q = 1）；

根据凯利公式，用这个 f 比例下注，可以让收益的复利效应达到最大，且风险较小。

举个例子：我能来玩投骰子游戏，投到 1、2、3 （小）你赢，投到 4、5、6（大）我赢，每次游戏下注 10 元。你赢了你拿走 30 元，你输了就没有钱拿。

分析，你投到小的情况如下：

胜率 p = 0.5 ；

败率 q = 0.5 ；

赔率 b=（30 - 10）/ 10 = 20/10 = 2 ；

如果你有 100 元钱，根据公式：

f = [（2*0.5）- 0.5] / 2 = 25% 。

也就是说，在这种胜率下，你可以投 25 元钱试试手气，最合理。

如果你手气好到极点，连赢 20 局后，根据公式投注的话，收入是这样的：



看着一个复利效应的收益曲线，谁能不激动。



但凡你的手气平衡一点，现实的残酷就迎面而来：



这样收益曲线，让人忐忑。



现实还能更残酷，庄家可能不会给你这么高的赔率，如果换个赔率：你赢了你拿走 20 元，你输了就没有钱拿。这样还好玩吗？

我再分析一下，你投到小的情况如下：

胜率 p = 0.5 ；

败率 q = 0.5 ；

赔率 b =（20 - 10）/ 10 = 10/10 = 1 ；

如果你还是有 100 元钱，根据公式：

f = [（1*0.5）- 0.5 ] /2 = ？？？

此时，数学劝你，这游戏碰都别碰。

如果你对凯利公式感兴趣，想用程序实现以下，可以参考以下代码：


代码来源：http://www.gitweixin.com/?p=664

所以根据「凯利公式」就能赚钱吗？

事实上，凯利公式只是让你在最小风险下，来合理分配投资比例。但如果只依靠凯利公式是完全不可行的。

应用凯利公式需要有两个前提：

第一：在游戏中，你的数学期望必须为正值。也就是说，这个游戏需要从数学的角度来判断是否值得参与。

第二：单次下注的胜率和赔率必须是固定的，但是胜率从独立事件上看是不可靠的，我们需要进行足够的游戏次数才能判断胜率是否在统计学上是固定的。

如果只是单次或几次，玩游戏的话，除了相信运气，其他什么都别信了。

比尔·巴特之所以可以赢钱，是因为他花费很大精力财力搭建的预测系统，这个系统之前也提到过，凯利公式在系统中提供减少投资风险的作用，而自定义的 MLR 模型其实就是保证自己赛马的胜率是较高的，才使得赛马在数学期望上值得玩。

所以凯利公式让我们认清一个道理，想赚钱的话，如果你没有好运气，就需要有好脑子学数学。

好玩的数学 2024-03-29 07:05 江西

wufaxian

lu老师你好。看了你的文章收获很大。但是产生了两个问题向您请教。

问题一：我去看了一下凯利公式的推导过程 。 其中第三步我不太理解开根号以后的现实含义。第二步可以认为是n次复利投资的回报率。成功的概率是p，失败的概率是q。按照复利公式。很容易理解等号右侧就是n次复利投资的期望。它对应的随机场景之一就是 (1+fb)(1+fb)(1-fa)…… 很符合实际
但是第三步开根号以后等号右侧的表达式含义是什么呢？视频中说代表 “一次”投资的期望回报。我觉得这么解释不太合理。如果只投资一次那么回报的期望应该是  p*(1+fb)+q*(1-fa)  。这样才比较合理。因此我认为第三步等号右侧的含义不能看作“一次”投资的期望回报。但是我也想不出其他合理的解释。不知道您觉得第三步右侧公式的含义是什么？

问题二：你原文中“但凡你的手气平衡一点，现实的残酷就迎面而来：”给出的例子很令人吃惊。吃惊的原因是这个例子对应的凯利公式的分子 [（2*0.5）- 0.5] 是大于0的，也就是期望是大于零的。符合凯利公式赢利的前提条件。而且你给出的交替盈亏的分布也不能说是克意不利于游戏参与者。但是结果确实稳定亏损。我将您这个例子的假设带入下方第三步的公式。并在geogebra中做图。y轴是回报率。x轴代表仓位分配比例。确实如同凯利公式计算所得，在0.25处回报率最大。更重要的是回报是大于1的。但是在您的例子中回报率明显不能大于1 。交替输赢一个看起来“比较公平”的分布 为什么结果与计算的期望值有天壤之别？这背后的深层的原因是什么？

geogebra截图：




凯利公式推导步骤：

\(M_n=M_0\times(1+fb)^{np}(1-fa)^{nq}\)

\(\frac{M_n}{M_0}=(1+fb)^{np}(1-fa)^{nq}\)     第二步

\(\sqrt[n]{\frac{M_n}{M_0}}=(1+fb)^p(1-fa)^q\)   第三步

\(R=(1+fb)^p(1-fa)^q\)

\(\begin{aligned}
&\mathrm{ln}R=p\mathrm{ln}(1+fb)+q\mathrm{ln}(1-fa) \\
&\begin{aligned}\frac{\ln R}{df}=\frac{bp}{1+fb}-\frac{aq}{1-fa}\end{aligned}
\end{aligned}\)


\(\begin{aligned}&\frac{bp}{1+fb}-\frac{aq}{1-fa}=0\\&f=\frac{bp-aq}{ab(p+q)}\end{aligned}\)

wufaxian

另外，从凯利公式的相关知识 我想到了有关“圣彼得堡悖论”的各种解释“边际效用递减原理” “最大效用原理” 如果这个悖论的“悖”体现在“。人们不愿意花费较高的金额来参与这个期望收益无穷大的游戏”。那么是否可以用赌徒破产理论来解释呢？

根据圣彼得堡悖论的游戏规则。可知这是一个大概率挣小钱，小概率挣大钱，数学期望无穷大的游戏。但是要数学期望发挥作用就要完成大量重复实验。但是一个人如果拿出比较大的金额参与这个游戏，有一种场景就是他还没等到大数定理发挥作用。他就已经破产丧失了继续游戏的资格了。所以是否可以认为“赌徒破产”是一切使用数学期望恒量投资回报 与 实际投资回报之间的一个巨大鸿沟。因为在数学进行理论层面的期望值计算时是不考虑“破产”问题的。

从另一个角度看。如果一个人一次只花1元钱来投注这个游戏。如果他要通过这个游戏实现“无限回报”。那么他理论上要投注“无限次”。无限次投注一元，实际投注金额也可以看作无穷大了。从这个角度看也就不存在悖论了？

不知道以上看法是否正确？