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平面几何神兽---卡诺的鸭(1)
原创 lch 茄总笑谈人生几何 2024-03-19 18:03 上海
物理学界有四大神兽,分别是:薛定谔的猫,麦克斯韦的妖,拉普拉斯兽,芝诺的龟。茄总认为,平面几何中也有神兽!!!
今天我们要开始介绍的就是卡诺的鸭!!!
要说这个,我们得从一个特殊的点:垂心说起!!!
在梅,塞定理客串的第一回,我们欣赏了如何证明垂心的存在!在我们提到内心和垂心互为连襟的时候,茄总隐藏了一个事实:垂心的这个性质,其实是垂心为数不多的被放生的经历!!!
事实上,垂心的命运就死死地和外心绑在了一起!!!
我们来看一下垂心的其他性质:
首先是互补,这个互补其实很显然。因为 A,E,H,F 共圆,在对顶角导一下就可以了!!!
那为什么它死死地和外心绑在了一起了呢?
因为这一组互补带来了连锁反应:
首先,互补意味着正弦值相等。那么通过正弦定理,能直接推出,ΔABC 和 ΔHBC 的外接圆半径相等。即两个外接圆互为等圆!!!
那么,BC 对应的两段弧就相等!也就意味着这两个圆关于 BC 对称!!!
所以接下来,我们延长 AH 交外接圆于 H’。这个时候,就是卡诺的鸭闪亮登场的时候了!
刚才的铺垫说明了:H 关于 BC 的对称点在 ΔABC 的外接圆上。
也就意味着:延长 AH ,与 ΔABC 外接圆的交点 H' 与 H 关于 BC 对称!!!
接下来就会上映一系列的对称,我们就要请卡诺的鸭来看客串了!!!
卡诺的鸭把爪子摁到了这个地方,著名的鸭爪定理就这样生成了!!!
这样就衍生出来了另一组结论:
H 关于 BC 中点 M 的对称点在外接圆上,而且是 A 的对径点 A' 。得到的四边形 BA'CH 为平行四边形。
同时,得到的四边形 BA'H'C为 等腰梯形。
这个结论的证明也很简单:首先 ∠AH'A' 为直角,所以 A'H'∥BC 。
这样能直接得出来等腰梯形。
而 A'B⊥AB ,所以 A'B∥AC ,同理 A'C∥AB ,两组对边平行得到了平行四边形,进而得到了对角线互相平分,得到中点和对称。
这个时候,卡诺也可以出场了!!!
中位线可以直接得出 AH=2OM ,这就是垂心中著名的卡诺定理!
再用梅涅劳斯定理,我们也可以马上证明欧拉线的存在:
今天我们认识了这样的一只神兽,之后我们会通过精彩的表演来欣赏这样一只可爱的神兽!!! |
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