几何的力量，非周期性无可比拟的美，首次发现震惊了当时的科学家

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几何的力量，非周期性无可比拟的美，首次发现震惊了当时的科学家

原创 我才是老胡 老胡说科学 2024-03-16 23:05 上海

当你无限地以不同的方向重复放置形状以完全覆盖一个表面时，就会形成彭罗斯瓷砖或镶嵌（Penrose tiles or tesselations），但这种图案永远不会重复。因为它缺乏平移对称性（translational symmetry），所以被称为非周期性铺砌（non-periodic tiling）。



英国数学物理学家罗杰·彭罗斯（Sir Roger Penrose）因其在宇宙学和广义相对论方面的工作而广为人知，他在 1970 年代发现了三种不同类型的非周期性铺砌。他并不是发现这种特殊图案的第一人，但无疑是最受欢迎的一位，因为这种图案以他的名字命名。

最初，数学界普遍认为自然界不可能存在一种铺砌方式，其中使用的形状可以无限地排列而不重复自身，即所谓的非周期性铺砌。这种信念基于长期的观察和研究，因为大多数自然和人造铺砌都表现出一定的周期性重复模式。

然而，1964 年，哈佛大学的罗伯特·伯格打破了这一传统观点，他首次构建了一套包含大约 20,426 种不同形状的铺砌集合，创造了一种铺砌方式，这种方式能够覆盖平面而不重复任何图案，从而挑战并扩展了数学家们关于铺砌的传统认识。

“不重复任何图案”的意思是，在铺砌过程中，无论铺砌多大的区域，所使用的形状的排列组合方式都不会完全相同，即没有一个特定的排列模式会在铺砌中第二次出现。在传统的、周期性的铺砌中，一种特定的图案或形状排列会在不同的位置重复出现，形成一种规律的、重复的模式。



开始时，罗伯特·伯格构建的集合需要超过两万种不同的形状来实现非周期性铺砌。然而，随着时间的推移，数学家们逐渐发现可以大幅度减少所需形状的数量而仍保持铺砌的非周期性。

几年后，伯格自己提出了一套一百零四块瓦片，唐纳德·克努特（Donald Knuth）将这个数字减少到九十二，拉斐尔·罗宾逊（Raphael Robinson）然后将数字减少到只有六个。最终，罗杰·彭罗斯通过更多的剪切和粘贴成功地将数字减少到两个。约翰·康威（John Conway）将这两个形状命名为“风筝（kites）”和“镖（darts）”。这两种形状都涉及到了黄金分割。


● 风筝和镖的图像

这是一个令人难以置信的实现，只有两个瓷砖一直延伸到无限而不重复，因此它们能够创造一个不断变化的图案。周期平铺和非周期平铺都有无限多的可能性。

构造彭罗斯铺砌的一个重要特征是局部的 5 重旋转对称性（the local 5 fold rotational symmetry）。

五重对称曾被认为是不可能的

我们在自然中看到的大多数晶体，例如糖、雪花、石英或钻石等，都是对称且周期性的。它们倾向于在整个晶体中保持相同的方向。



人们可以轻松地用三角形、正方形或六边形周期性地铺满一个平面，但用五边形却永远做不到。因此，实现五重对称的宣布在当时震惊了科学家们。



几何形状的规则对称性如此明显地融入我们的大脑，以至于没有人相信要超越它们。这很有趣，因为这种特殊类型的对称性在周期晶体中是不可能的。最重要的是，它已被用来解释“准晶体”的组成。准晶体代表了一种全新的物质状态，具有某些晶体的属性和其他非晶态物质的属性。简单来说，准晶体源自于彭罗斯瓦片的三维类比。

五重对称最初是在 1980 年观察到的，存在于铝锰合金（Al6Mn）中。此后，在其他材料中也发现了这类晶体。



并不是每个人都对准晶体的发现感到信服。因为他们认为自然法则永远不会允许这种现象。最重要的是，两次获得诺贝尔奖的著名科学家林纳斯·鲍林（Linus Pauling）曾经名言：

没有准晶体，只有准科学家。

那么，彭罗斯是如何开始的呢？

他从将五边形拼凑在一起开始。当围绕前一个五边形添加更多五边形时，他开始观察空白空间。但他得到的形状是一个可以完全适配到一个更大的五边形中的形状。然后他想到取原始的五边形并将它们分解成更小的五边形。

然后所有的空白空间开始隐藏在菱形图案之下。他再次无限地细分图案，然后得出结论，只需要菱形、星形以及星形或正义帽（Justice Cap）的一部分，就足以覆盖任何给定平面上的所有空白空间，而不留下任何未覆盖的部分。

他认为这差不多就是五重对称。当彭罗斯得到这种图案时，他想要简化它。他成功地精炼了几何形状，将数量减少到两种瓦片，一种是细菱形和“胖”菱形的配对，另一种是风筝形和镖形的配对，如下图所示：




因此，彭罗斯铺砌是回归到一个长时间以来一直让数学家们困惑的数学谜题。

下面给出了三种不同类型的彭罗斯铺砌。

使用五边形铺砌 — P1 型

P1 型由五边形和另外三种形状构成，一种是细长菱形、一种是星形，还有一种是正义帽形。这些形状必须根据一些定义好的规则组合在一起，以覆盖整个平面。


● P1 型

使用风筝和镖铺砌 — P2 型

P2 型只使用两种不同的形状，即风筝和镖，以特定比例非周期性地填充平面。这两种形状可以从一个长对角线比为 1 比 1/φ 的单一菱形中获得，其中 φ 是众所周知的黄金比例。另外，风筝也可以看作是两个连接的黄金三角形。


● P2 型

有一个众所周知的定理：

在所有由风筝和镖铺砌的图案中，七种顶点类型中的每一种都无限次出现。

这意味着如果给定顶点，围绕它安排风筝和镖有七种可能的方式，如下图所示。我们也可以称它们为 7 种顶点邻域。


风筝和镖铺砌中形成一个顶点的所有 7 种方式


大车轮（C4）包含所有七种类型

使用菱形铺砌 — P3 型

P3 型由两种不同的菱形组成，这些菱形有尖锐的角。同样，它们必须以避免周期性的方式放置在一起。关于这些形状如何组合在一起的规则，是通过匹配颜色或其他方式来强制执行的。


● P3 型

该图案通过特别构造，无论地形多么多样，图案永远不会重复。

彭罗斯瓷砖与黄金比例

研究表明，黄金比例在所有展示五重对称性的对象的尺寸中扮演着突出的角色。还表明，在所有无理数中，黄金比例是最无理性的，因此，在数论、搜索算法、函数的最小化、网络理论、某些材料的原子结构以及生物有机体的生长中有独特的应用。——理查德·A·邓拉普，《黄金比例与斐波那契数列》

彭罗斯铺砌最重要也是最常见的特征是黄金比例的涉及。

你认为黄金比例是如何出现在这个图案中的呢？你知道彭罗斯铺砌的图案包含一种五重对称。黄金比例与五边形有着根本的关联。更准确地说，它是直接构建在它们的构造中的。五边形的对角线与边的比率恰好是黄金比例。

另一个有趣的事实是，在任何铺砌中，风筝与镖的数量比接近黄金比例。因此，黄金数的无理性行为提供了证据，表明该图案无论如何都不可能是周期性的。因为，如果图案是周期性的，那么它可以表示为两个整数的比例。



从古希腊的毕达哥拉斯和欧几里得，到中世纪意大利数学家皮萨的莱昂纳多和文艺复兴时期的天文学家约翰内斯·开普勒，再到当代科学家如牛津物理学家罗杰·彭罗斯，历代最伟大的数学思想家们已经在这个简单比例及其性质上花费了无数小时……

生物学家、艺术家、音乐家、历史学家、建筑师、心理学家，甚至神秘主义者都对其普遍性和吸引力的基础进行了思考和辩论。事实上，可以公平地说，黄金比例激发了数学史上所有学科思想家的灵感，这是其他任何数字所无法比拟的。

公共场所的所有类型的彭罗斯铺砌

这些非周期性铺砌也已经应用于建筑以及装饰目的。下面展示了一些作为例子的地板铺砌。


英国牛津数学研究所的钻石形彭罗斯铺砌


卡尔顿学院数学和计算机科学大楼的彭罗斯铺砌。


1979 年，在《科学美国人》杂志文章发表两年后，迈阿密大学数学系学士楼的彭罗斯铺砌。


芬兰赫尔辛基中央街的一条人行道铺有彭罗斯铺砌。

彭罗斯的学术生涯不局限于任何特定领域。他在数学物理领域的研究使他因 Penrose-Hawking 奇点定理的工作获得了物理学诺贝尔奖。他还因物理学与意识问题以及哲学的某些领域的研究而闻名。

我才是老胡