18 世纪，当数学大师们把微积分公理化之后，微积分才算真正成立了！当时发生了什么？

luyuanhong

18 世纪，当数学大师们把微积分公理化之后，微积分才算真正成立了！当时发生了什么？

原创 Masir123 科学羊 2024-02-04 07:27 广东

大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 2 季第 27 篇。

接下来几篇我们来谈谈关于实数体系公理化的过程，这也是微积分公理化的基础，这个过程还是蛮有意思，给大家也分享下。

正文：

我们知道最后的微积分是靠柯西和魏尔斯特拉斯他们最后做了定稿，但是我们要思考一问题，为什么一定要将微积分构建成一个公理化的体系？


弃文从工后又投理的柯西

那么在数学中，什么是公理化？为什么要公理化？

在数学中，公理化是一种建立理论基础的方法，它通过定义一套基本的、不证自明的命题（称为公理）来建立数学理论或系统。

这些公理是理论的出发点，其他所有的定理和结论都必须通过逻辑推理严格地从这些公理导出。


中学老师出身的数学大师魏尔斯特拉斯

公理化的目的是确保数学理论的一致性、完备性和独立性。

一致性：确保从公理出发，通过逻辑推理不会得到矛盾的结果。

完备性：理论中的所有真实命题都可以从这些公理通过逻辑推理得到。

独立性：任何一个公理都不能从其他公理通过逻辑推理得到，即每个公理都是不可缺少的。

公理化的概念就犹如建房子需要的砖瓦，而这些砖瓦必须是经过严密测试无可挑剔的，才能构建一幢一流大厦。

公理化方法在数学的各个分支中都有应用，如集合论、几何学和数理逻辑等。

历史上，欧几里得的《几何原本》是公理化方法的早期例子，尽管它的公理体系后来被发现在某些方面不是完全严格的。

现代数学中，对公理化方法的运用更为严格和全面，如希尔伯特的公理化几何学和策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）等。

通过这种方式，数学试图建立一个既严格又普遍适用的知识体系，使得从最基本的假设出发，可以系统地导出整个数学结构。

回到主题，之所以对微积分进行公理化，是因为对于数学本身而言，当时的微积分存在一个很重要的 bug 。

第一，牛顿自己都说不清楚，他完全是凭着经验出发证明了微积分；

第二，莱布尼茨使用了大量主观假设；

以上，均没有一个能够靠数学语言详细描述的方法，这有时候会导致含糊不清！

比如，用导数在证明极值问题时，前提假设是，数轴的数必须是“没有间隙”。那么过去其实对这句话都是没有证明，我们都是靠感觉来评价。



那么，如果把根号 2 扣掉，它在数轴的左右两侧就有间隙了。

可问题是，在毕达哥拉斯那个时代，却认为根号 2 不存在，那岂不是就等于把这个数给从数轴扣掉了？

所以后面人们一直很难理解这种无限不循环小数究竟是什么，所以起名为“无理数”。

直到柯西他们把极限的概念阐述清楚之后才定义了实数，才为微积分打下非常严格的基础。

在探索实数的本质时，柯西采用了一种精妙绝伦的方法：无限逼近。

想象一下，我们试图解开根号 2 的神秘面纱，柯西就巧妙地构建了一个序列，不断地向根号 2 靠拢，通过严格的逻辑推演，他证明了这个序列最终汇聚于根号 2 这一点。

这种方法，在数学界被赋予了一个名字——柯西收敛准则。

想象一下，你有一个团队，团队成员分别站在一条直线上，他们代表一个数列中的各项。如果这个团队最终能够集中在一起，形成一个紧密的小圈，那么我们就说这个团队是“收敛”的，他们有一个共同的目标或位置。

柯西收敛准则就是用来检查这个团队是否能够实现这样的集中。

具体来说，柯西收敛准则告诉我们，只要团队里的任何两个成员之间的距离，随着时间的推移可以变得任意小（即他们可以足够接近对方），那么这个团队就能够最终集中在一起。

换句话说，无论你选出团队中的哪两个成员，只要你足够耐心，最终他们之间的距离可以变得非常非常小，这就意味着整个团队将能够聚集在非常接近的地方。

当然可以。柯西收敛准则是一个在实数或复数的序列中检验收敛性的标准，用数学语言表达如下：

一个序列  满足柯西收敛准则，如果对于任意给定的正数  ，存在正整数 N ，使得当所有 m,n＞N 时，下面的不等式成立：



这里的  表示序列中第 n 项和第 m 项的差的绝对值，而 ε 是一个任意小的正数。

简单来说，柯西收敛准则意味着，序列中足够后面的任意两项之间的差距可以变得任意小。

柯西收敛准则是分析中非常重要的工具，因为它允许我们在不知道序列极限的情况下判断序列的收敛性。这在很多数学分析和高等数学的领域中都是非常有用的。

然而，在柯西的时代，其他数学巨匠们也在用自己独特的视角解答同一个问题：实数的真谛究竟是什么。

幸运的是，尽管他们的方法各不相同，但归根结底，他们揭示的实数的本质是相通的。

例如，魏尔斯特拉斯揭示了在任何一小片数学领域内，总存在某个点不断吸引周围的值向它聚拢，这个点便是实数的体现。

康托尔则采用了一种区间逐步缩小的方式，巧妙地从中揭露出实数的面目。

历史上，数学家们共提出了七种不同的理论来描述实数及其性质，令人惊叹的是，这些理论最终被证明是等价的——一旦我们能够证明其中任何一个理论的正确性，便能洞悉其余六个理论的真谛。

但问题来了：如何证明第一个理论的正确性呢？这成了一个难题。

解决之道，在于将其中一种理论作为基础公理来接受。而在众多理论中，最为清晰地描述实数的，要数 19 世纪末到 20 世纪初的德国数学家戴德金所提出的理论。

现今，戴德金的理论常被作为公理基础，以此推导出其他数学家提出的那七大理论。

当然，在讨论戴德金理论时，文献上对于“理论”、“公理”和“定理”的使用并不一致。

戴德金之所以能在众多理论中脱颖而出，或许是因为他采取了一种更为高瞻远瞩的视角来审视实数的本质。

他并未将实数简单地视为一个点，而是将其视为两个相反方向趋势的分界线。这个观点的独特之处在于，戴德金首先假定了有理数的概念是明确无误的——毕竟，有理数不过是两个整数的比例关系，用圆规和直尺就能轻易在数轴上定位。

但问题在于，并不是数轴上的每一个点都能找到与之对应的有理数，根号 2 便是一个例子。

因此，戴德金提出了一种创新的思路：在数轴上某一点进行“戴德金分割”，这样一来，数轴上的有理数便被划分为两个集合，向前（即正无穷方向）和向后（即负无穷方向）。

如果将前面的有理数集合标为 A ，后面的集合标为 A' ，不难发现，A 和 A' 都符合四个基本原则，这正是戴德金分割的精妙之处。



(1) 非空，也就是说它们中都包含一些有理数；

(2) 不等于全部有理数，也就是说 A≠Q ，A'≠Q ；

(3) 零交集，即  ；

(4) 互补，即这两个集合的并集为有理数集本身 Q=A∪A' ,而且 A 中任意一个元素要大于 A' 中每一个元素。

好了，今天就先这样啦，关于戴德金分割的具体操作，我们下篇再谈～

祝幸福～

参考文献：

[1].《吴军数学通识讲义》

科学羊 2024/02/04