用棣美弗定理巧解难题

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用棣美弗定理巧解难题

原创 Wittt ECONOMICS RULES 2024-02-21 00:17 重庆



数学里有许多迷人的公式能够知道它的来源, 了解其内涵并有深刻的体会, 虽然花点时间但绝对是值得的。在三角函数与复数理论中最重要的公式, 个人认为是 Euler 公式。

               e^(iθ) = cosθ + i sinθ 。

这是 Euler 在 1748 年所发表。若 θ=π 就是

                         e^(iπ)+1=0 。

Euler (1707-1783) 非常喜爱这个公式, 并宣称这是最美丽的数学公式, 他热爱到将这公式刻在皇家科学院的大门上。这式子有 1 , 0 两个数字系统中最根本的概念，还有三个运算方法——加、乘与次方。另外还有两个特别的数: 指数 e 与圆周率 π ，再加上 i 这个虚数单位（ i 顾名思意是取虚数 imaginary number 的第一个字母，这是 Euler 第一个提议，但却是高斯使得代表 √-1 的符号 i 广被使用，他将 x+iy 命名为复数（complex number）而称 √(x^2+y^2) 为范数（norm）。i 的几何意义是旋转，将 x 轴转换到 y 轴。关于这个事实人们有这么一段笑话：

“You have reached an imaginary number. If you reguire a real number, please rotate your telephone by 90° and try again.”



历史上第一个给出复数之几何表示的学者是挪威数学家 Casper Wessel（1745-1818）。之后 Jean Robert Argand（1768-1822）, J. Warnen 和高斯（Gauss）等人也相继独立发表了复数的几何表示。其中以高斯的工作对于后代的数学产生普遍的影响。


法国数学家棣美弗（De Moivre, 1667-1754）

实际上 Euler 并不是凭空想象推导出 Euler 公式, 在他之前法国数学家棣美弗（De Moivre, 1667-1754）就在 1722 年提出著名的棣美弗定理，由棣美弗定理加上极限的概念可推导出 Euler 公式。除此之外, 棣美弗也是概率论的创始者之一, 今天我们所说的正态分布（normal distribution）或高斯分布事实上是棣美弗先发现的。

棣美弗定理

            cos(nθ) + i sin(nθ) = (cosθ + i sinθ)^n  。

其一般式可以写为：

            r^n[cos(nθ) + i sin(nθ)] = (r cosθ + r i sinθ)^n  。

下面利用棣美弗定理来解一道竞赛题。

Problem

There is a unique sequence of integers a1, a2, …, a2023 such that



whenever tan(2023x) is defined. What is a2023 ?

解题思路：这道题作为美国数学邀请赛的压轴题，看起来是很复杂的。不过一般的思路是将利用 tanx = sinx / cosx ，将 tan(2023x) 分别用 sin(2023x) 和 cos(2023x) 表示出来。这个数据很大，所以立马想到棣美弗定理。根据该定理可得：

         cos(2023x) + i sin(2023x) = (cosx + i sinx)^2023

要将 sin(2023x) 和 cos(2023x) 表示出来需要将上式右边展开，还需要用到二项式定理，如下：



利用二项式定理展开得到：

         (cosx + i sinx)^2023 = C(2023,0)(cosx)^2023 + … + C(2023,2023)(i sinx)^2023 。

利用 i^2 = -1 化简上式，然后将实部和虚部整理可得：





然后利用 tan(2023x) = sin(2023x) / cos(2023x) 得到一个分式（因为排版的原因，分式没写出）。将此分式上下同时除以 (cosx)^2023 即可以得 a2023 = -1 。  

通过这个题目可以推出一个一般的公式：