不需要文字的证明——求和篇

luyuanhong

不需要文字的证明——求和篇

原创 AMC trefoiledu 2024-03-12 07:01 德国



1 + 3 + 5 + … + (2n-1)^2 = n^2

● 前 n 个奇自然数之和为 n^2 。

● 把左图向右倾斜 45°，把横向排列的点从中点翻折 90° 构成的 n×n 正方形即是右图，通过右图可以很快算出点数，而这个点数就是前 n 个奇自然数之和。



1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2

● 前 n 个正整数之和为 n(n+1)/2 。

● 复制一个左图，翻折后和其自身拼成一个 n×(n+1) 的矩形即是右图，通过右图可以很快算出点数，而这个点数就是前 n 个正整数之和。



● 前个正整数之和为 n(n+1)/2 的又一个几何证明。

● 排列组合的思想，前 n 个正整数之和相当于从 n+1 个数里面选 2 个的所有可能性之和。

● 借助杨辉三角/帕斯卡三角，运用排列组合的思想可以很快求出多边形数的通项公式。



1 + (-3) + 5 + (-7) + … + (2n-1) = n（ n 为奇数）

● 前 n 个正负交错相加的奇自然数之和（注意 n 为奇数）。

● 正负交错相加的一个应用就是判断一个数能否被 11 整除。







1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = ( 1 + 2 + … + n )^2

● 三种方法证明了前 n 个立方数之和等于前 n 个正整数之和的平方。



P(n) = 3T(n-1) + n

● 第 n 个五边形数等于三倍的第 n-1 个三角形数再加上 n 。



F(1)^2 + F(2)^2 + … + F(n)^2 = F(n)×F(n+1)

● 斐波那契数列的性质：前 n 个斐波那契数的平方之和等于第 n 个斐波那契数乘以第 n+1 个斐波那契数。

● 注意斐波那契数列可以写出第 0 项，其值为 0 。