A,B(0,1,2)在直线 x/2=y-1=z-2 上，B 对 x+2y+2z=15 对称点 C，AB=12，求ΔABC 的面积

wintex

請問數學

elim

将过\(\small B\)的平面\(\Pi\)法线参数式\(\small(x,y,z)=(0,1,2)+t(1,2,2)\)代入\(\Pi:\)
\(\small (t+2(2t+1)+2(2t+2)=15,\,t=1.\;\therefore\;\small (B+C)/2=(1,3,4)\)
\(\small|BC|=6.\;\;\sin\small\angle (\overline{AB},\overline{BC})=\large\frac{|(2,1,1)\times(1,2,2)|}{|(2,1,1)||(1,2,2)|}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\) 最后得
\(\small|\triangle ABC|=\frac{1}{2}|AB||BC|/\sqrt{3}=36/\sqrt{3}=12\sqrt{3}.\)

luyuanhong

波斯猫猫

思路(朴素的方法)：如图，设BC⊥平面π于D，AB交平面π于O，连OD，记θ=∠OBD。由条件易得，

BD=3(点到平面的距离)，O(3，5/2，7/2)，或BO=3√3/√2(两点的距离)。故，cosθ=BD/BO=√2/√3，

即sinθ=1/√3。故，S△ABC=AB.BDsinθ=12×3×(1/√3)=12√3。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。