将数字之和为 7 的正整数，按从小到大的次序排列，问：2023 排在第几个？

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luyuanhong

题  将数字之和为 7 的正整数，按从小到大的次序排列，问：2023 排在第几个？

解  分几种情况讨论：

（一）一位数、二位数和三位数。

    如果在一位数、二位数前面加上 0 ，这一类数都可认为有 3 位数字，且 3 位数字之和为 7 。可

以看作是先将 7 个球排成一列，然后插入 2 块隔板，将球分为 3 段，3 段中的球数就是 3 位数字。

球和隔板共 9 个物体，在其中选定 2 个为隔板，有 C(9,2)=36 种不同的选法，所以这类数有 36 个：

    007 ，016 ，025 ，034 ，043 ，052 ，061 ，070 ，

    106 ，115 ，124 ，133 ，142 ，151 ，160 ，

    205 ，214 ，223 ，232 ，241 ，250 ，

    304 ，313 ，322 ，331 ，340 ，

    403 ，412 ，421 ，430 ，

    502 ，511 ，520 ，
   
    601 ， 610 ，

    700 。

（二）以 1 为首的四位数。

    这时在千位上有一个 1 ，其余 3 位数字之和为 6 。可以看作是先将 6 个球排成一列，然后插入 2 块

隔板，将球分为 3 段，3 段中的球数就是 3 位数字。球和隔板共 8 个物体，在其中选定 2 个为隔板，有

C(8,2)=28 种不同的选法，所以这类数有 28 个：

    1006 ，1015 ，1024 ，1033 ，1042 ，1051 ，1060 ，

    1105 ，1114 ，1123 ，1132 ，1141 ，1150 ，

    1204 ，1213 ，1222 ，1231 ，1240 ，

    1303 ，1312 ，1321 ，1330 ，
   
    1402 ，1411 ，1420 ，

    1501 ，1510 ，

    1600 。

（三）以 2 为首的四位数。

    这时在千位上有一个 2 ，其余 3 位数字之和为 5 。可以看作是先将 5 个球排成一列，然后插入 2 块

隔板，将球分为 3 段，3 段中的球数就是 3 位数字。球和隔板共 7 个物体，在其中选定 2 个为隔板，有

C(7,2)=21 种不同的选法，所以这类数有 21 个：

    2005 ，2014 ，2023 ，2032 ，2041 ，2050 ，…… ，2500 。

    可以看出，在这一类数中，按大小排在 2023 前面的数，只有 2 个。

    综合以上分析，可知按大小排在 2023 前面的数，共有 36 + 28 + 2 = 66 个，所以 2023 排在第 67 个。

Treenewbee

写代码惯了，已基本失去分析能力了

1. Length@Select[Range@2023,Total@IntegerDigits@#==7&]

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