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定义\(\;\small N(x_0,\delta)=\{x\mid |x-x_0|<\delta\}, \;N_o(x_0,\delta)=\{x\mid 0<|x-x_0|<\delta\}\)
\(\qquad\)为\(x_0\)的\(\delta\)邻域及\(\delta\)去心邻域.
\(\small\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=a\iff\exists a\,\forall \varepsilon>0\,\exists\delta_{\varepsilon}>0\,\forall x\in N_o(x_0,\delta_{\varepsilon})\;|f(x)-a|<\varepsilon\)
例:任给\(\varepsilon>0\),取\(\delta=\varepsilon,\) 则当\(0< |h|<\delta\)时\(\big|\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\scriptsize-2x\big|=|h|<\varepsilon.\)
\(\quad\)即\((x^2)’:\small\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x.\)
在标准分析中,导数不是函数增量与自变量增量的"最终比", 而是所论差商
关于自变量增量趋于0的极限,而极限不依赖于达到,也不依赖于无穷小量概念.
换句话说,标准分析用废弃无穷小,严格定义极限的方法破解了第二次数学危机.
注:潜无穷,实无穷不再是 ZFC 基础上的标准分析的概念。标准分析中
没有物理意义上的时间。 |
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