已知 log32(α)=log48(β)=log108(α+2β)，求 (α^3-α^2β+β^3)／(α^2β)

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已知 log32(α)=log48(β)=log108(α+2β)，求 (α^3-α^2β+β^3)／(α^2β)

波斯猫猫

题：已知log32(α)=log48(β)=log(α+2β)，求(α^3-α^2β+β^3)/(α^2β)。

思路：设ln2=a，ln3=b，则lnα=5ak，lnβ=(4a+b)k，ln(α+2β)=(2a+3b)k，

即e^(5ak)+2.e^[(4a+b)k]=e^[(2a+3b)k]，或1+2.e^[(b-a)k]={e^[(b-a)k]}^3。

解得，e^(b-a)k=(1+√5)/2。又β/α=e^(b-a)k，把此代入下式并计算得

(α^3-α^2β+β^3)/(α^2β)=(α/β)+(β/α)^2-1=√5。