在凸四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于 E，证明 SΔABD ：SΔBCD = AE ：EC

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题  在凸四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于 E，证明 SΔABD ：SΔBCD = AE ：EC 。

证  我们知道：两个等高的三角形，它们的面积之比，等于这两个三角形的底边长之比。

     在本题中，ΔABE 与 ΔEBC 等高，所以 SΔABE：SΔEBC = AE：EC 。

     即有 SΔABE × EC = SΔEBC × AE 。

     同理，ΔADE 与 ΔEDC 等高，所以 SΔADE ：SΔEDC = AE：EC 。

     即有 SΔADE × EC = SΔEDC × AE 。

     所以，

     SΔABD × EC = (SΔABE + SΔADE)× EC = SΔABE × EC + SΔADE × EC

    = SΔEBC × AE + SΔEDC × AE = (SΔEBC + SΔEDC)× AE = SΔBCD × AE 。

    即有 SΔABD ：SΔBCD = AE：EC 。

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