求证：当 n 是正整数时，√(n+1)-√n 是无理数

xfhaoym

n>0  证明：(n+1)^1/2-n^1/2是无理数。有几种方法？

波斯猫猫

n>0  证明：(n+1)^1/2-n^1/2是无理数。有几种方法？

n>0  证明：√(n+1)-√n是无理数。(n=16/9时，√(n+1)-√n=1/3)

luyuanhong

xfhaoym

luyuanhong 发表于 2024-2-13 19:15

谢谢陆老师。如果 这样证明行吗：

luyuanhong

你说的意思其实就是：当 n+1=a^2 能开方时，n=a^2-1 必定不能开方。

但为什么 a^2-1 不能开方？这本身就是一件需要证明的事情。

xfhaoym

luyuanhong 发表于 2024-2-14 14:16
你说的意思其实就是：当 n+1=a^2 能开方时，n=a^2-1 必定不能开方。

但为什么 a^2-1 不能开方？这本身就 ...

如果(a^2-1)能开方，会有（a+1)=(a-1则  -1=1？

luyuanhong

注意：这里的 a 是有理数，并不一定是整数。

举例来说，如果 a=5/3 ,  a^2=25/9  能开方，

a^2-1=25/9-1=16/9  也能开方。