反证法定义规定“由反论题推出矛盾”还算不算数？

yangls728

反证法定义规定“由反论题推出矛盾”还算不算数？
杨六省
yangls728@163.com
初中数学教科书开始向学生介绍用反证法证题。
什么是反证法？各种教材的表述大同小异。具体做法的要求是：先找出与原论题具有一真一假矛盾关系的论题，我们把它叫做原论题的反论题。然后把反论题当作条件进行合乎逻辑的推理推出矛盾，从而说明反论题为假。于是，由排中律可知，原论题为真。
反论题务必参与推理这一点应该没有异议，因为否则，怎么说明反论题就是导致矛盾发生的原因呢？
但是，各种版本的初中数学教科书是怎么做的呢？教科书在把√2=p/q（p，q互质）作为√2不是有理数的反论题之后，在推出p和q均为偶数的过程中，根本就没有用到√2=p/q（p，q互质）。试问，反证法定义中“由反论题推出矛盾”这一规定还算不算数？教科书的编写者应该对此有个说法，否则会产生思想混乱。

附：人教版数学七年级下册第58页给出的证明。
假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
于是                                   p=√2q.
两边平方得                             p2=2q2.
由2q2是偶数，可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.
因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2，即
                                   q2=2s2.
所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.
这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

波斯猫猫

证明：√2不是有理数.
证明：假设√2是有理数（否定结论，没问题），
那么存在两个互质的正整数p，q，使得√2=p/q（有理数的表达式，没问题），于是 p=√2q(变形).
两边平方得   p^2=2q^2.
由2q^2是偶数，可得p^2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.
因此可设p=2s，代入上式，得4s^2=2q^2，即q^2=2s^2.
所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾(自相矛盾).
这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

注：是“根本就没有用到√2=p/q（p，q互质）“吗？推理依据主要就是从等式”√2=p/q（p，q互质）“
出发，一步步通过正确的逻辑推理与计算，并引出矛盾。...

yangls728

波斯猫猫 发表于 2024-2-10 13:28
证明：√2不是有理数.
证明：假设√2是有理数（否定结论，没问题），
那么存在两个互质的正整数p，q，使 ...

要把假设和推理中用到假设区分开来。假设本身就是错误的，也就是说，√2不是有理数的反论题应该是√2是有理数，而不是√2是最简分数。

yangls728

yangls728 发表于 2024-2-10 13:43
要把假设和推理中用到假设区分开来。假设本身就是错误的，也就是说，√2不是有理数的反论题应该是√2是有 ...

请参阅综合论坛中的“√2不是有理数传统证明的两大错误”一文。

金瑞生

yangls728 发表于 2024-2-10 13:43
要把假设和推理中用到假设区分开来。假设本身就是错误的，也就是说，√2不是有理数的反论题应该是√2是有 ...

倒傻货！该命题的反论题为根号2是有理数！而有理数均可写成最简分数！因此在该反论题下，根号2就可以写成最简分数！这么简单的道理你都搞不清楚？你的脑袋就是个榆木疙瘩！