\(\Large\color{blue}{关于极限可达问题的讨论}\)

春风晚霞

你【本人早在上个帖子中以数列\(\{1/n\}\)不符合条件ii 说明并非所有极限表达式可实现】，注意说明并不等于证明，我要的是你证明n→∞时，1/n是极限为0但不等于0. 还是1/n是极限为0且等于0. 这步尚未证明，你凭什么说【数列\(\{1/n\}\)不符合条件ii 】？

春风晚霞

       嫩谣棍先生认为【我说过这是简单的初等数学解方程问题，大家都懂，你看不懂不等于我没证明。】好“巧妙”的方法，好奇葩的“证明”！先生用【初等数学解方程】的方法，证明\(\tfrac{1}{n}≠0\).用了n→∞和\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)这两个己知条件了吗？难道这就是你们说的现代分析的语境？本来我不想给你回帖，不然的话你将自以为你就有了让我闭嘴的资本！现在我们用反证法证明，当n→∞时，\(\tfrac{1}{n}=0\).
       【证明】:设当n→∞时，
\(\tfrac{1}{n}=α>0\). 取\(ε=\tfrac{α}{2}\)，则存在N=[\(\tfrac{2}{α}\)]+1，因为n→∞，所以n>N，所以｜\(\tfrac{1}{n}-0\)|=\(\tfrac{1}{n}=α\)>\(\tfrac{α}{2}=ε\)恒成立.所以\(\tfrac{1}{n}-0\)|=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}≠0\)这与\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)矛盾。所以，当n→∞时\(\tfrac{1}{n}=0\).
       嫩谣棍，你不是很牛逼吗？我证到了这一步剩余的步骤你自己去完成吧！
       嫩谣棍你在去年12月21日若干帖中讲清了这个问题吗？

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-31 21:59
嫩谣棍先生认为【我说过这是简单的初等数学解方程问题，大家都懂，你看不懂不等于我没证明。】好“ ...

\(n\to\infty\) 时 \(n\) 是常数吗？\(\varepsilon = 1(2n)\) 是事先给定的正数吗？

一团乱。

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-1 05:15
\(n\to\infty\) 时 \(n\) 是常数吗？\(\varepsilon = 1(2n)\) 是事先给定的正数吗？

一团乱。

n→∞时，n不是常数。ε=1(2n)是事给定的正数，但\(\color{red}{不是无论怎样小的正数！}\)\(\color{blue}{一团乱是什么意思？}\)

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-1 00:22
n→∞时，n不是常数。ε=1(2n)是事给定的正数，但\(\color{red}{不是无论怎样小的正数！}\)\(\color{blue ...

既然 n 不是常数， ε=1/(2n) 就不是事先给定的正数，您说乱不乱？

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-1 07:26
既然 n 不是常数， ε=1/(2n) 就不是事先给定的正数，您说乱不乱？

Weierstrass 的ε—N数列极限定义，
       【定义:】对于数列\(\{a_n\}\)和常数a，如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ε，总存在自然数\(N_ε\)，当n>\(N_ε\)时，恒有| \(a_n- a\) |＜ε，则称常a为数列\(\{a_n\}\)的极限.记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\).(参见同济大学《高等数学》第七版P20页)

        定义中是\(\color{blue}{对于每一个预先给定的任意小的正数 ε，总存在自然数N_ε}\)是根据ε求自然数，而不是根据n→∞，反求ε！为什么会是一团乱？

elim

你令 ε=1/(2n), 就是玩这种反求。

其实 1/n 是正整数 n 的乘法逆，所以又 n(1/n) = 1 因而 1/n 不等于 0. 所以不论逆咋样绕，都不会有你要的可达性。

只有把无穷大加作为特殊元加到皮亚诺的正整数，才有  1/n = 0  \(n=\infty\).  但这已经不是原来意义上的可达了。

本来极限说的是随 n 无限增大，\(a_n\) 趋于 \(a\), 你为啥一点要把趋于叫作等于？

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-1 07:56
你令 ε=1/(2n), 就是玩这种反求。

其实 1/n 是正整数 n 的乘法逆，所以又 n(1/n) = 1 因而 1/n 不等于  ...

你个老逼登要是有种，就老老实实在这里把条件ii 写出来给大家看看，不许添油加醋鱼目混珠，让大家说说是否需要用到极限。敢吗？发表于 2024-1-1 05:15

因我不是你的老师，也不是你的家长，你爱怎么就怎么吧。就算我给你做了，你也还是会坚持你那个“极限存在，但不可达的”。只不过以你这点认知，还不足以让我闭嘴！

痛打落水狗

曹老头今天发帖跟大家告别，他比你知道什么叫羞耻。发表于 2024-1-1 05:121

曹先生坚持“极限存在，但不可达”被你们攻击多年，他今天发帖告别，碥实说明他比你知道羞耻。只可惜曹先生至今也不明白，你竞会是他的忠实盟友！读罢曹氏告别词倒有几分狐死兔悲，物伤其类之感！

痛打落水狗

真是搞笑，条件ii 本身就是个初等数学解方程问题，与极限无关，这是个人人都看得出来的简单事实，也并非只有我一个人跟你讲过，你在这里哭爹一样的叫唤也是屁用没有，傻子。

条徐氏“可实现的”前提条件是\(\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=A\)，要想\(\displaystyle\lim_{n \to ∞}a_n=a\)是否满足条件(ii)就必′须验证是否有\((n→∞)时，a_n=a\). 所以用解方程\(\tfrac{1}{n}=0\)来否定条件(ii)不是明智之举。

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-1 01:24
你个老逼登要是有种，就老老实实在这里把条件ii 写出来给大家看看，不许添油加醋鱼目混珠，让大家说说 ...

\(n\to\infty\)时 \(\lim a_n = a\) 而不是 \(n\to\infty\)时 \(a_n = a\)．

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-1 09:15
\(n\to\infty\)时 \(\lim a_n = a\) 而不是 \(n\to\infty\)时 \(a_n = a\)．

两点：
1、由ε的任意性保证\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)而不是\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n→a\)(也就极限值唯一)
2、若\(当n→∞时a_n≠a\)
反证法  假设\(当n→∞时a_n≠a\)，即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)时\(a_n≠a\)，则必有｜\(a_n-a\)｜=α>0，取\(ε=\frac{α}{2}\)，则｜\(a_n-a\)｜=α>\(ε=\frac{α}{2}\)=ε，这与\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)予盾。